云南省昆明市昆第二中学高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的最小正周期为,将的图像向 左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
2. 某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 设满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
参考答案：
A
4. 已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=（n∈N*），bn=log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是( )
A．S6 B．S5 C．S4 D．S3
参考答案：
D
考点：数列的求和．
专题：计算题．
分析：由已知，探求{an}的性质，再去研究数列{bn}的性质，继而解决Sn中最大值．
解答： 解：由已知当n=1时，a1=T1=，当n≥2时，an==，n=1时也适合上式，
数列{an}的通项公式为an=∴bn=log2an=14﹣4n，数列{bn}是以10为首项，以﹣4为公差的等差数列．
=﹣2n2+12n=﹣2[（n﹣3）2﹣9]，当n=3时取得最大值．
故选D
点评：本题主要考查了等差数列的判定，前n项公式，考查了学生对基础知识的综合运用．体现了函数思想的应用．
5. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
考点：导数与单调性，导数与函数不等式．
【名师点睛】在函数不等式中，特别是象本题这类已知条件，一般要构造一个新函数，以便可以利用此条件判断新函数的单调性，常见的新函数有，，，等等，然后已知关系全部转化为新函数的关系，问题．
6. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：个数据的中位数为，众数为；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；
③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
参考答案：
B
考点：统计初步
7. 设随机变量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数没有极值点的概率是（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
参考答案：
C
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数在某点取得极值的条件．
【分析】函数没有极值点，则f′（x）=x2+2x+η2=0无解，可得η的取值范围，再根据随机变量η服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．
【解答】解：∵函数没有极值点，
∴f′（x）=x2+2x+η2=0无解，
∴△=4﹣4η2＜0，
∴η＜﹣1或η＞1，
∵随机变量η服从正态分布N（1，σ2），P（η＜﹣1）=0.2，
∴P（η＜﹣1或η＞1）=0.2+0.5=0.7，
故选C．
【点评】本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
8. 对于直线和平面，有如下四个命题：
(1)若m∥，mn，则n； (2)若m，mn，则n∥
(3)若，,则∥； (4)若m，m∥n，n，则
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
9. 已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（ ）
A．{1，4} B．{0，1，4} C．{0，2} D．{0，1，2，4}
参考答案：
D
【考点】并集及其运算．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A={1，4}，
B={y|y=log2x，x∈A}={0，2}，
∴A∪B={0，1，2，4}．
故选：D．
10. 执行程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
B
考点：循环结构．
专题：算法和程序框图．
分析：通过循环求出P，Q的值，当P＞Q时结束循环，输出结果即可．
解答： 解：第1次判断后循环，P=1，Q=3，n=1，
第2次判断循环，P=5，Q=7，n=2，
第3次判断循环，P=21，Q=15，n=3，
第3次判断，不满足题意，退出循环，输出n=3．
故选B．
点评：本题考查循环结构的作用，注意判断框与循环后，各个变量的数值的求法，考查计算能力．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆的圆心到直线的距离 ;
参考答案：
3
12. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该双曲线的虚轴
长等于________．
参考答案：
13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过
点，则双曲线的焦距为 ．
参考答案：
14. 已知二项式展开式中含项的系数为160，则实数a的值为_____．
参考答案：
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中含项的系数，再根据含项的系数为，求得的值．
【详解】二项式展开式的通项公式为：
令，解得：，可得展开中含项的系数为
则实数：
本题正确结果：
15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为，则（其中O为极点）的面积为 。
参考答案：
3
略
16. 已知实数x，y满足条件 ，则目标函数z=2x－y的最大值是 .
参考答案：
6
17. 对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=具有性质P，则实数a的取值范围为 ．
参考答案：
【考点】函数的值．
【分析】由题意将条件转化为：方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex并求出g′（x），由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在定义域上的单调性，求出g（x）的最小值，结合g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a的取值范围．
【解答】解：由题意知：若f（x）具有性质P，
则在定义域内xf（x）=1有两个不同的实数根，
∵，∴，
即方程xex=a在R上有两个不同的实数根，
设g（x）=xex，则g′（x）=ex+xex=（1+x）ex，
由g′（x）=0得，x=﹣1，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增，
∴当x=﹣1时，g（x）取到最小值是g（﹣1）=，
∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，
∴当方程xex=a在R上有两个不同的实数根时，
即函数g（x）与y=a的图象有两个交点，
由图得，
∴实数a的取值范围为，
故答案为：．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数的定义域为，对定义域内的任意，满足
，当时，为常数，且是函数的一个极值点.
（Ⅰ）若时，，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：.
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意对定义域内的任意，，为奇函数，
当时，，
则当时，，
由解得，经验证，满足题意；
时，
当时，
令，
则当时，恒成立，转化为在上恒成立，
，令，
，在上单调递增，
，，在上单调递增，
， 即实数的取值范围为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，，即则
令，则，即
当时，可得
略
19. 设函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
(3)若方程f(x)＝c有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f′>0.
参考答案：
(1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0
0，且f(x)的最小值f <0，即－a2＋4a－4aln <0.
因为a>0，所以a＋4ln－4>0.令h(a)＝a＋4ln－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，
且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.
当a>a0时，h(a)>0；当00.
不妨设00，
故只要证> 即可，即证明x1＋x2> ，
即证明－＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)< ＋2x1－－2x2，
即证明ln <.设t＝ (00，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．
又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证……….13分
略
20. 在等比数列中，，．设，为数列的前项和．
(1)求和；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ）设的公比为，由得，
∴．
∴．
（Ⅱ）
①当为偶数时，由恒成立得，恒成立，
即，
而随的增大而增大，∴时，
∴；
②当为奇数时，由恒成立得，恒成立，
即，
而，当且仅当等号成立，
∴．
综上，实数的取值范围.
21. 如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥AD，PA⊥AB，AB=AD，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）直线PD与过直线AC的平面α平行，平面α与棱PB交于点M，指明点M的位置，并证明．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定．
【分析】（I）根据线面垂直的判断定理可得PA⊥底面ABCD，即可得到PA⊥BD，得到BD⊥