2022-2023学年福建省漳州市北苑私立中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年福建省漳州市北苑私立中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．则椭圆C的离心率为(    ) A． B． C．      D． 参考答案： A 略 2. 已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是(     ) A．π B．2π C．3π D．4π 参考答案： D 考点：球内接多面体． 专题：作图题；综合题；压轴题． 分析：求出三棱锥的体积，再求出球的体积即可． 解答： 解：如图，?AB=2r，∠ACB=90°，BC=， ∴V三棱锥=，V球=， ∴V球：V三棱锥=． 点评：本题考查球的内接体的体积和球的体积的计算问题，是基础题． 3. 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是的离心率e等于                     （   ） A．             B．          C．           D． 参考答案： D 4. 设中心在原点、焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，圆 与该双曲线的渐近线相切，点 在双曲线上，若点 到焦点 的距离是 ，则点 到 的距离是（    ） A． 或          B． 或        C.          D． 参考答案： D 5. 在等比数列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．则{an}的前5项和为（　　） A．31 B．62 C．64 D．128 参考答案： A 【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式． 【分析】设等比数列{an}的公比为q，a4=8a1，可得a1q3=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，再求和即可 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a4=8a1，∴a1q3=8a1，a1≠0，解得q=2． 又a1，a2+1，a3成等差数列， ∴2（a2+1）=a1+a3， ∴2（2a1+1）=a1（1+22）， 解得a1=2 ∴{an}的前5项和为=31， 故选：A． 6. 复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限          B．第二象限 C．第三象限          D．第四象限 参考答案： D 7. 已知函数，正实数m,n满足，且，若在区间上的最大值为2，则m、n的值分别为                         A．       B.        C.       D. 参考答案： A 8. 若，则（） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得，即可求解． 【详解】由题意，可得 ，故选A． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9. 已知命题p：?x＞0，x+≥2命题q：若a＞b，则ac＞bc．下列命题为真命题的是（　　） A．q B．￢p C．p∨q D．p∧q 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】判断四个选项的真假，首先判断命题p和q的真假，对于p，根据基本不等式即可得出命题p为真命题，对于q，若a＞b＞0，c＜0，显然ac＞bc不成立，从而得出命题q为假命题，这样即可找出正确选项． 【解答】解：∵x＞0时，，当且仅当x=1时取“=”； ∴命题p为真命题，则￢p假； 若a＞b＞0，c＜0，则ac＞bc不成立； ∴命题q为假命题； ∴p∨q为真命题． 故选C． 10. 在复平面内，复数 对应的点位于（    ） A.第一象限          B. 第二象限        C. 第三象限      D. 第四象限 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数y=lg（1﹣）+的定义域是            ． 参考答案： [log23，+∞） 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则， 即， ∴x≥log23， 即函数的定义域为[log23，+∞）， 故答案为：[log23，+∞） 【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础． 12. 的二项展开式中，常数项为______． 参考答案：                       略 13. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为，则图中x=.          ． 参考答案： 由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，其底面边长为和，高为，其体积为；左边是直三棱柱，即“堑堵”，其底面边长为和，高为1，其体积为. ∵该几何体的体积为 ∴ ∴ 故答案为.   14. 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点P，若且，则双曲线的离心率为________ 参考答案： 略 15. 设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是(   )  A、          B、 C、              D、 参考答案： C 16. 已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是          ． 参考答案： 17. （文）若实常数，则不等式的解集为        ． 参考答案： 因为，得，解得，即不等式的解集为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设S＝{1，2，3，…，280}．求最小的自然数n使得S的每个有n个元素的子集都含有5个两两互素的数． 参考答案： 解析：令Ai＝｛S中一切可被i整除的自然数｝，i＝2，3，5，7．记A＝A2∪A3∪A5∪A7，利用容斥原理，容易算出A中元素的个数是216．由于在A中任取5个数必有两个数在同一个Ai之中，从而他们不互素．于是n≥217． 另一方面，令 B1＝(1和S中的一切素数｝ B2＝(22，32，52，72，112，132｝ B3＝｛2×131，3×89，5×53，7×37，11×23，13×19｝ B4＝｛2×127，3×83，5×47，7×31，11×19，13×17｝ B5＝{2×113，3×79，5×43，7×29，11×17} B6＝{2×109，3×73，5×41，7×23，11×13} 易知B1中元素的个数为60．令B＝B1∪B2∪B3∪B4∪B5∪B6，则B中元素的个数为88，S－B中元素的个数为192．在S中任取217个数，由于217－192＝25＞4×6，于是存在i(1≤i≤6)，使得这217个数中有5个数在Bi中．显然这5个数是两两互素的，所以n≤217． 于是n＝217． 19. 已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为.证明：为定值，并求该定值. 参考答案： （1）依题意得 ∴.∵，∴，故的方程为. 由得，，∴， 又，∴所示切线的方程为，即. （2）设（，且），则的横坐标为，. （法一）由题可知，与联立可得，， 所以， 则为定值. （法二）∵，， ∴ ∴ 为定值. 20. 已知点H（﹣1，0），点P在y轴上，动点M满足PH⊥PM，且直线PM与x轴交于点Q，Q是线段PM的中点． （1）求动点M的轨迹E的方程； （2）若点F是曲线E的焦点，过F的两条直线l1，l2关于x轴对称，且l1交曲线E于A、C两点，l2交曲线E于B、D两点，A、D在第一象限，若四边形ABCD的面积等于，求直线l1，l2的方程． 参考答案： 【考点】J3：轨迹方程． 【分析】（1）由题意可知： =（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1），利用PH⊥PM，求动点M的轨迹E的方程； （2）由抛物线的焦点，设直线方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，即可用m表示四边形ABCD的面积，求出m，即可求直线l1，l2的方程． 【解答】解：（1）设M（x，y），P（0，y1）（y1≠0），Q（x1，0）， =（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1）， ∵PH⊥PM， ∴﹣x1+y′2=0，即y12=x1， 又，则，可得：y2=（x≠0）， （2）由（1）抛物线的焦点F（，0），则直线l1：x=my+（m＞0）， 则，整理得y2﹣y﹣=0， ∴yA+yC=，yAyC=﹣， 由题意，四边形ABCD是等腰梯形， ∴S=丨丨=﹣2（yA﹣yC）2（yA+yC）=， =﹣m[（yA+yC）2﹣4yAyC]=﹣， 由﹣=， 整理得：m3+m=10，（m+2）（m2﹣2m+5）=0， 则m2﹣2m+5＞0，则m=﹣2， ∴直线l1，l2的方程y=﹣x+，y=x﹣． 【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查面积的计算，属于中档题． 21. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线：． （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2），分别是曲线和曲线上的动点，求最小值．　 参考答案： （1）的普通方程为,直角坐标方程：；（2）. 试题分析：（1）由曲线在参数方程消去参数即可得到普通方程；曲线在极坐标方程两边同乘以，由极坐标与直角坐标的互化公式转化即可；（2）圆心到直线的距离为减去半径，即可求得最小值. （2）如图，圆心到直线的距离为，， ∴． 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直角坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系. 22. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是棱CC1的中点．   (1) 求证：A1B⊥AM； (2) 求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值． 参考答案： 解：(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则　B(0,1,0)，A1(，0，)，A(，0,0)，M. 所以＝(－，1，－)， ＝， 所以·＝3＋0－3＝0.所以⊥. 所以A1B⊥AM.(5分) (2)由(1)知＝(－，1,0)，＝(0,0，)， 设面AA1B1B的法向量为n＝(x，y，z)， 则　不妨取n＝(，3,0)． 设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ. 所以sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝. 所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为.(10分)