2022-2023学年浙江省衢州市菖蒲中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年浙江省衢州市菖蒲中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（   ） A．    B．   C．     D．4 参考答案： A 略 2. 已知函数是R上的偶函数，当时，都有．设，则 A． B． C． D． 参考答案： C 3. 函数在区间内的图象是 （　　） A.                  B.                  C.                   D. 参考答案： D 4. 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　） A．21 B．20 C．19 D．18 参考答案： B 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件． 【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，① a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，② 由①②联立得a1=39，d=﹣2， ∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400， 故当n=20时，Sn达到最大值400． 故选：B． 5. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．123       B.38　    　C．11     　D．3                                                    参考答案： C 6. 已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（　　） A． B．2 C．4 D．8 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=， =，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF. =， =，由于=（3，1），=（1，3），=6．可得==.=． 由于S平行四边形DEQF==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1＜λ≤a，1＜μ≤b），可得，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．即可得出． 【解答】解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD． 分别作=， =， 则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF． =， =， =（3，1），=（1，3），=6． ∴=，∴==． ∴==． ∴S平行四边形DEQF= =（λ﹣1）（μ﹣1）× =8（λ﹣1）（μ﹣1）=8， 化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1， ∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4， ∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号． ∵（1＜λ≤a，1＜μ≤b）， ∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3）， ∴， ∵1＜λ≤a，1＜μ≤b， ∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）． ∴a+b≥λ+μ≥4， ∴a+b的最小值为4． 故选：C． 7. 已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（　　） A．4﹣ B．4﹣ C． D． + 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，求解xcosθ+ysinθ+1=0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB， 若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， 则（cosθ+sinθ）=﹣1， 令sinα=，则cosθ=， 则方程等价为sin（α+θ）=﹣1， 即sin（α+θ）=﹣， ∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， ∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1， 则对应的区域为单位圆的外部， 由，解得，即B（2，2）， A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4， 直线y=x的倾斜角为， 则∠AOB=，即扇形的面积为， 则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强． 8. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+x﹣3，则f（x）的零点个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案． 【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点 当x＞0时，令f（x）=2x+x﹣3=0， 则2x=﹣x+3， 分别画出函数y=2x，和y=﹣x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点， 又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点． 综上所述，f（x）的零点个数为3个， 故选C． 【点评】本题是个基础题，函数的奇偶性是函数最重要的性质之一，同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用，此题就与函数的零点结合，符合高考题的特点． 9. 集合,,若,则的值为（  ） A．0          B．1           C．2           D．4 参考答案： D 10. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A．         B．         C．         D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为________. 参考答案： 12. 的展开式中常数项为　　．（用数字作答） 参考答案： 1820 【考点】二项式定理的应用． 【分析】通项公式Tr+1==，令16﹣=0，解得r即可得出． 【解答】解：通项公式Tr+1==， 令16﹣=0，解得r=12． ∴的展开式中常数项==1820． 故答案为：1820． 13. 已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则c+d=　     　，a+b+c+d的取值范围是　    　． 参考答案： 10，（12，）． 【考点】分段函数的应用． 【分析】根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，二次函数的对称轴为x=5，可得c+d=10，利用f（a）=f（b），可得ab=1，a=，从而a+b=+b∈（2，），即可求出答案 【解答】解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0 根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8， 二次函数的对称轴为x=5，∴c+d=10 ∵f（a）=f（b），∴﹣4log2a=4log2b，∴ab=1，∴a=， ∴a+b=+b∈（2，）， ∴a+b+c+d∈（12，）． 故答案为：10，（12，）． 14. 已知双曲线的离心率为2，则实数     ． 参考答案： 答案：12 15. 已知两向量与满足=4，=2，且（+2）?（+）=12，则与的夹角为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据，进行数量积的运算，便可由求出的值，进而求出向量的夹角． 【解答】解：根据条件： =； ∴； 又； ∴与的夹角为． 故答案为：． 【点评】本题考查数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 　 16. 已知函数，设集合，从集合P和Q中随机地各取一个分数分别作为a和b，则函数在区间（）上为增函数的概率为      。 参考答案： 略 17. 有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为               ． 参考答案： 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组共有16种，其中两位同学参加同一个兴趣小组有4种，所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱的中点，且． （1）求证：；（2）如果是棱上一点，若，求的值 参考答案： （1）见解析;（2）    【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定G5 G7 解析：（1）证明：连接AC． ∵在△ABC中， AB=AC=2，BC=2， ∴BC2=AB2+AC2， ∴AB⊥AC． ∵AB∥CD， ∴AC⊥CD．                    又∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥CD． ∵AC∩PA=A， ∴CD⊥平面PAC． （2）解：∵点M是线段PD的中点， ∴点P，M到底面ABCD的距离之比为2：1， S△BNC：S△ANC=， ∴==×==， ∴=． 【思路点拨】（1）连接AC．在△ABC中，BC2=AB2+AC2，AB⊥AC．由AB∥CD，可得AC⊥CD． 利用线面垂直的性质可得PA⊥CD．即可证明．（2）由于点M是线段PD的中点，可得点P，M到底面ABCD的距离之比为2：1，而S△BNC：S△ANC=，即可得出体积之比． 19. 已知函数，. （1）当时，讨论函数f(x)的零点个数； （2）若f(x)在(0,+∞)上单调递增，且求c的最大值. 参考答案： （1）见解析（2）2 【分析】 （1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解； （2）由题可得在(0,+∞)上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解. 【详解】（1）当时,,定义域为(0,+∞), 由可得, 令,则, 由,得；由,得, 所以在上单调递增,在上单调递减, 则的最大值为, 且当时,；当时,, 由此作出函数的大致图象,如图所示. 由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点； 当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点； 当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点. （2）因为在(0,+∞)上单调递增,即在(0,+∞)上恒成立, 设,则, ①若,则,则在(0,+∞)上单调递减,显然, 在(0,+∞)上不恒成立； ②若,则,在(0,+∞)上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意； ③若,当时,,单调递减, 当时,,单调递增, 所以, 由得, 设,则, 当时,,单调递减； 当时,,单调递增, 所以,所以, 又,所以,即c的最大值为2. 【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想. 20. (本小