安徽省合肥市庐北职业高级中学高三数学理期末试卷含解析

安徽省合肥市庐北职业高级中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 参考答案： C 【考点】简单线性规划的应用． 【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再分析当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的形状，然后代入相应的公式，求出区域的面积． 【解答】解析：作出可行域，如图， 则直线扫过的面积为 故选C． 2. 设函数f（x）=x2+xsinx，对任意x1，x2∈（﹣π，π），若f（x1）＞f（x2），则下列式子成立的是(     ) A．x1＞x2 B． C．x1＞|x2| D．|x1|＜|x2| 参考答案： B 考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：由于f（﹣x）=f（x），故函数f（x）=x2+xsinx为偶函数，则f（x1）＞f（x2）?f（|x1|）＞f（|x2|），f′（x）=2x+sinx+xcosx，当x＞0时，f′（x）＞0，从而可得答案． 解答： 解：∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣xsin（﹣x）=x2+xsinx=f（x）， ∴函数f（x）=x2+xsinx为偶函数， ∴f（﹣x）=f（|x|）； 又f′（x）=2x+sinx+xcosx， ∴当x＞0时，f′（x）＞0， ∴f（x）=xsinx在上单调递增， ∵f（x1）＞f（x2）， ∴结合偶函数的性质得f（|x1|）＞f（|x2|）， ∴|x1|＞|x2|， ∴x12＞x22． 故选B． 点评：本题考查函数f（x）的奇偶性与单调性，得到f（x）为偶函数，在上单调递增是关键，考查分析转化能力，属于中档题． 3. 命题：“”的否定是 （   ） A． B． C． D． 参考答案： C 4. 若函数（）是奇函数，函数（）是偶函数，则（     ） A．函数是奇函数        B．函数是奇函数 C．函数是奇函数            D． 函数是奇函数 参考答案： B 略 5. 函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】3O：函数的图象． 【分析】先判断函数为偶函数，再根据函数的单调性即可判断． 【解答】解：令y=f（x）=ln|x|﹣x2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 因为f（﹣x）=ln|x|﹣x2=f（x）， 所以函数y=ln|x|﹣x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D， 当x＞0时，f（x）=lnx﹣x2， 所以f′（x）=﹣2x=， 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增， 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减， 故排除C， 方法二：当x→+∞时，函数y＜0，故排除C， 故选：A 6. 在△ABC中，有命题:①；②；③若，则△ABC是等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是…………………………………………………………（   ）      (A) ②③        (B) ①④         (C)  ①②         (D) ②③④ 参考答案： A 因为，所以①错误。排除B,C. ②正确。由得，即，所以△ABC是等腰三角形，所以③正确。若，则，即为钝角，所以△ABC为钝角三角形，所以④错误，所以上述命题正确的是②③，选A. 7. 设，，，，记为内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 A.      B.      C.      D. 参考答案： C 略 8. 设函数，其中，为如图所示的程序框图中输出的结果，则的展开式中常数项是 （    ） A．      B．     C．       D． 参考答案： B 略 9. 若二次函数的部分图像如右图所示，则函数的零点所在的区间是（    ）  A．        B．    C.          D． 参考答案： C 略 10. 函数的图象大致为（    ） A                    B C                    D 参考答案： B 试题分析：函数为奇函数，去掉A,C;当时，因此选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数 当时,     参考答案： 12. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________. 参考答案： 由条件得，，从而双曲线方程为，故渐近线方程为。 13. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是　　． 参考答案： 2   【考点】两点间距离公式的应用． 【分析】由直线过定点可得AB的坐标，由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得． 【解答】解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0）， 直线mx﹣y﹣m+3=0可化为（x﹣1）m+3﹣y=0， 令可解得，即B（1，3）， 又1×m+m×（﹣1）=0，故两直线垂直， ∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10， 由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2 =（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB| ≥（|PA|+|PB|）2﹣2（）2 =（|PA|+|PB|）2， ∴（|PA|+|PB|）2≤20， 解得|PA|+|PB|≤2 当且仅当|PA|=|PB|=时取等号． 故答案为：2． 【点评】本题考查两点间的距离公式，涉及直线过定点和整体利用基本不等式求最值，属中档题． 　 14. 已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________． 参考答案：   15． 2008 略 15. 如图所示，在中，为边上的一点，且，若（），则_____________. 参考答案： 【分析】本题考察向量的线性表示，属于常规问题，难度适中，可以通过两个思路去解决问题，第一，利用几何关系处理问题，通过建立平行线寻找几个向量的关系；第二，则可以使用向量之间的相互表达的手段去处理，或者直接使用共线定理（即：若共线，且，则）。 【解】 方法一：由于，则，其中，，那么可转化为，可以得到，即，则，那么，故填. 方法二：直接利用共线定理，，则，则，则，那么，故填. 方法三：利用几何方法，如右图所示构造辅助线，做的三等分点，根据平行线等分定理则，在新构造的中，，又，，那么，可以得到，则，那么，故填. 16. 已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是            参考答案： 略 17. 从直线上一动点出发的两条射线恰与圆都相切，则这两条射线夹角的最大值为          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP． （Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD； （Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（I）证明BP⊥平面ABCD，以B为原点建立坐标系，则为平面ABCD的法向量，求出，的坐标，通过计算=0得出，从而有EM∥平面ABCD； （II）假设存在点N符合条件，设，求出和平面PCD的法向量的坐标，令|cos＜＞|=解出λ，根据λ的值得出结论． 【解答】证明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB， ∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC， ∴直线BA，BP，BC两两垂直， 以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1，）， ∴=（﹣1，0，），=（0，2，0）． ∵BP⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的一个法向量， ∵=﹣1×0+0×2+=0， ∴⊥．又EM?平面ABCD， ∴EM∥平面ABCD． （Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为． 理由如下： ∵=（2，﹣2，1），=（2，0，0）， 设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则． ∴．令y=1，得=（0，1，2）． 假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于． 设=λ=（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴==（2λ，2﹣2λ，λ）． ∴cos＜＞===． ∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）． ∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于． 19. 已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=，． （Ⅰ）求cosB； （Ⅱ）求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间基本关系化简，利用等比数列的性质及正弦定理化简后，求出sinB的值，即可确定出cosB的值； （Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积． 【解答】解：（Ⅰ）由+=+==①， 又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac， 由正弦定理化简得：sin2B=sinAsinC， ∵在△ABC中有sin（A+C）=sinB， ∴代入①式得：=，即sinB=， 由b2=ac知，b不是最大边， ∴cosB==； （Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得，ac=a2+c2﹣2ac?=（a+c）2﹣ac， ∵a+c=，∴ac=5， ∴S△ABC=acsinB=2． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 20. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程； （II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x﹣1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2， ∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b=|OM|=1， ∴．… ∴椭圆的方程为．… （II）①当直线l的斜率不存在时，由解得． 设，，则为定值．… ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）． 将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．… 依题意，直线l与椭圆