广东省阳江市大陈中学高三数学理期末试题含解析

广东省阳江市大陈中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y=x2的焦点到准线的距离为（　　） A．2 B． C． D．4 参考答案： D 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】将抛物线转化标准方程，根据抛物线的性质，求得焦点及准线方程，即可求得焦点到准线的距离． 【解答】解：抛物线的标准方程x2=8y，则焦点坐标为（2，0），准线方程为x=﹣2， ∴焦点到准线的距离d=2﹣（﹣2）=4， 故选D． 【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单性质，考查焦点到准线的距离，属于基础题． 2. 设（i是虚数单位），则等于 （A）      （B）         （C）       （D） 参考答案： 3. 某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（   ） A． B．              C．     D． 参考答案： D 4. 已知平面向量的夹角为且，在中，， ，为中点，则(    ) A.2           B.4           C.6           D.8 参考答案： A 5. 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件． 【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出． 【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0） 令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0． ． ①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去． ②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=， ∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． ∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0， ∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即． 故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0， ∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减． ∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣． 故选：D． 6. 已知函数f（x）＝sin（x＋），其中x∈[－，a]，若f（x）的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是 A．（0，]      B．[，]       C．[，]      D．[，π] 参考答案： D 7. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程可以是 　　A．　　　B． 　　C．　　　 D． 参考答案： 答案：D 8. 定义在R上的函数满足，且时， ，则 A．1      B．       C．     D． 参考答案： 【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4 【答案解析】C   解析：由，因为，所以，，所以 .故选 【思路点拨】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值． 9. i为虚数单位，, 则的共轭复数为   (    ) A.  2-i          B.  2+i           C. -2-i         D. -2+i 参考答案： 【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数. 【答案解析】A解析 ：解：因为，故的共轭复数为，故选A. 【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果. 10. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集是              . 参考答案： 12. i是虚数单位，则的值为                 . 参考答案： .   13. 在正项等比数列中，a3a7=4，则数列{}的前9项之和为                . 参考答案： 答案：9 14. 已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是          .（用区间表示） 参考答案： 15. 在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是_____． 参考答案：     略 16. 双曲线的渐近线方程为　　． 参考答案： y=±3x 略 17. 在等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2=　　． 参考答案： 【考点】数列的求和；等比数列的前n项和． 【分析】根据条件等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，可知a1=1，公比为2，从而有{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列，故可求． 【解答】解：由等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，可知a1=1，公比为2 ∴{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列 ∴a12+a22+…+an2== 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 命题：不等式对一切实数都成立；命题：已知函数的图像在点处的切线恰好与直线平行，且在上单调递减。若命题或为真，求实数的取值范围。 参考答案： 略 19. （本小题满分12分）      如图所示的几何体中，是一个长方体，是一个四棱锥，其中，点平面且， （Ⅰ）在棱（含端点）上能否找到一点,使得∥平面,并请说明理由；   （Ⅱ）求该几何体的表面积. 参考答案： 解：（1）取的中点               ………………6分 （2）                       ………………12分 20. 已知函数,其中常数 . （Ⅰ）当时，求的极大值；（Ⅱ）试讨论在区间上的单调性; （3）当时,曲线上总存在相异两点, ,使曲线在点处的切线互相平行,求的取值范围. 参考答案： (1) 当时, ,当或时, ;当时, , 在和上单调递减,在上单调递增,故极大值= (2) 当时, 在上单调递减,在上单调递增. 当时, 在上单调递减 当时, 在上单调递减,在上单调递增. (3)由题意,可得() 既 对恒成立 另则在上单调递增， 故，从而的取值范围是。 略 21. 如图所示，设ABCD是矩形，点E，F分别是线段AD，BC的中点，点G在线段EF上，点D，H关于线段AG的垂直平分线l对称.求证：∠HAB=3∠GAB. 参考答案： 由，分别是，的中点，得. 设是关于的对称点，则，故四边形是等腰梯形. 进而，，从而. 再由，得. 因此. 22. 某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间，将统计结果分成组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）求续驶里程在的车辆数； （Ⅲ）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为 的概率. 参考答案： 解: （Ⅰ）由直方图可得：       ∴.                                      ------------------3分 （Ⅱ）由题意可知，续驶里程在的车辆数为：                       ------------------5分 （Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在的车辆数为，分别记为， 续驶里程在的车辆数为，分别记为， 设事件“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”----------------------7分 从该辆汽车中随机抽取辆，所有的可能如下： 共种情况，----------------10分 事件包含的可能有共种情况， 则.                              ------------------12分 （未列举事件，只写对概率结果给2分） 略