山东省烟台市滨海中学高一数学理月考试卷含解析

山东省烟台市滨海中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则+1的值为（    ） A． B.                C.                D. 参考答案： A 2. 给定映射，在映射下，的原像为(    ) A、            B、              C、            D、 参考答案： B 略 3. 已知且，下列四组函数中表示相等函数的是(         ) A． 与 B．与 C．与                              D．与 参考答案： B 略 4. 关于x的方程在内有实数根，则k的取值范是（　　） A．（﹣3，1） B．（0，2） C． D． 参考答案： D 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】先利用两角和公式对方程化简整理，进而根据x的范围确定k的范围． 【解答】解：∵k=sin2x+cos2x﹣1 =2（sin2x+cos2x）﹣1 =2sin（2x+）﹣1， 又x∈， ∴2x+∈[，]， ∴． ∴﹣2≤2sin（2x+）﹣1≤1，即k∈． 故选：D． 5. 设函数 则不等式的解集是 A       B．   C．  D． 参考答案： A 6. 定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝ ，则方程f(x)＝0的实根的个数为(　 　) A．1　　　　     B．2　　   　    C．3　　　　       D．5 参考答案： C 7. 各项不为零的等差数列{an}中，，数列{bn}是等比数列，且，则（   ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 参考答案： D 【分析】 根据等差数列性质可求得，再利用等比数列性质求得结果. 【详解】由等差数列性质可得： 又各项不为零    ，即 由等比数列性质可得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.   8. 设，，，则          （    ） A．      B.     C.      D. 参考答案： C 略 9. 函数的部分图象如下图所示，则的值等于（   ） A． B． C． D．  参考答案： C 略 10. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（　　） A．（﹣，+∞） B．（﹣，1） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣） 参考答案： B 【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法． 【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围． 【解答】解：要使函数有意义需， 解得﹣＜x＜1． 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为          ． 参考答案：   12. 将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为　　． 参考答案： y=sin（2x+） 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象； 再将得到的图象向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象， 故答案为：y=sin（2x+）． 13. 若集合，则实数的取值范围是__________． 参考答案： 略 14. 函数（且）恒过定点______________. 参考答案： 略 15. 以，B（10,-1,6), C(2,4,3)为顶点的三角形的形状为           . 参考答案： 等腰直角三角形 16. （5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是      ． 参考答案： （﹣1，3） 考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论． 解答： ∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0， ∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2）， 即f（|x﹣1|）＞f（2）， ∴|x﹣1|＜2， 解得﹣1＜x＜3， 故答案为：（﹣1，3） 点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键． 17. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则______. 参考答案： 4 【分析】 由平方关系得到，结合三角形面积公式计算即可得出。 【详解】 【点睛】本题考查了三角形面积公式和平方关系，关键是要用平方关系得到。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求证：﹣2cos（α+β）=． 参考答案： 【考点】GJ：三角函数恒等式的证明． 【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）?sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论． 【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα =sin﹣2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin=sinβ． 两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=． ∴原式得证 19. （12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）． （1）求函数F（x）的定义域及其零点； （2）若关于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围． 参考答案： 考点： 函数的零点与方程根的关系；函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）利用对数函数和分式函数的定义域即可得出F（x）其定义域，利用零点的意义和对数函数的单调性即可得出； （2）对a分类讨论可得函数F（x）的单调性，进而问题等价于关于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解．再利用一元二次不等式的解法即可得出． 解答： （1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）， 要使函数F（x）有意义，则必须，解得﹣1＜x＜1， ∴函数F（x）的定义域为D=（﹣1，1）． 令F（x）=0，则…（*） 方程变为， ∴（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0 解得x1=0，x2=﹣3， 经检验x=﹣3是（*）的增根， ∴方程（*）的解为x=0， ∴函数F（x）的零点为0． （2）函数在定义域D上是增函数，可得： ①当a＞1时，F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是增函数， ②当0＜a＜1时，函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是减函数． 因此问题等价于关于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解． ①当a＞1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是增函数， ∴F（x）∈[0，+∞）， ∴只需2m2﹣3m﹣5≥0，解得：m≤﹣1，或． ②当0＜a＜1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是减函数， ∴F（x）∈（﹣∞，0]， ∴只需2m2﹣3m﹣5≤0解得：， 综上所述，当0＜a＜1时：； 当a＞1时，m≤﹣1，或． 点评： 本题考查了对数函数及分式函数类型得到的复合函数的定义域单调性及其零点、一元二次不等式的解法、方程的解等价转化问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 20. 在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积. （本题满分12分） 参考答案： 解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=,  ∵△ABC为锐角三角形    ∴A+B=120°,  C=60°.………………………………………………………………（4分）  又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,a·b=2, ……………….（6分） ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,   ∴c=,  …………….…….（10分） S△ABC=absinC=×2×= .                      …………….…….（12分） 略 21. 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AD，A1B1的中点． （1）求证：DB1⊥CD1； （2）求三棱锥B﹣EFC的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）推导出CD1⊥B1C1，DC1⊥CD1，从而CD1⊥平面DB1C1，由此能证明DB1⊥CD1． （2）三棱锥B﹣EFC的体积VB﹣EFC=VF﹣BEC．由此能求出结果． 【解答】（本小题满分12分） 证明：（1）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， B1C1⊥面CC1D1D，CD1?面CC1D1D，∴CD1⊥B1C1， ∵CC1D1D是正方形，∴DC1⊥CD1， 又DC1∩B1C1=C1，∴CD1⊥平面DB1C1， 又DB1?平面DB1C1，∴DB1⊥CD1．… 解：（2）F到平面BEC的距离BB1=2， S△BEC==2， ∴三棱锥B﹣EFC的体积．… 22. 已知函数f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3． （1）求a，b，c的值． （2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论． （3）解关于t的不等式：f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明． 【专题】综合题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】（1）由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，解得c=0，又f（1）==2，化为2b=a+1．f（2）=＜3，即可得出． （2）f（x）=，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．利用证明单调函数的方法即可证明． （3）利用函数的奇偶性与单调性即可解出． 【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=+=0， 得﹣bx+c=﹣bx﹣c，解得c=0， 又f（1）==2，化为2b=a+1． ∵f（2）=＜3，∴，化为＜0，?（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2， ∵a∈Z，∴a=0或1． 当a=0时，解得b=，与b∈Z矛盾，舍去． 当a=1时，b=1， 综上：a=b=1，c=0． （2）f（x）=， 函数f（x）在[1，+∞）上为增函数． 任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2． 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=， ∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2． ∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． ∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数． （3）∵f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0， ∴f（|t|+3）＞﹣f（﹣t2﹣1）=f（t2+1）． ∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数， ∴t2+1＜|t|+3