2022年福建省福州市私立云山学校高一数学理月考试卷含解析

2022年福建省福州市私立云山学校高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. O为△ABC所在平面上动点，点P满足, ,则射线AP过△ABC的（  ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 参考答案： B 【分析】 将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心. 【详解】 因为和分别是和的单位向量 所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量 所以的方向与的角平分线重合 即射线过的内心 故选B 【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题. 2. 已知集合A＝｛2，4，5｝，B＝｛1，3，5｝，则A∪B＝（     ） A．　　　　　B．｛5｝　　　　　C．｛1，3｝　　　　　D．｛1，2，3，4，5｝ 参考答案： D 略 3. 设a,bR，集合，则b-a= （  ▲  ）   A.1           B.          C.2            D. 参考答案： A 略 4. 若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GG：同角三角函数间的基本关系． 【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案． 【解答】解：∵α是第三象限的角 ∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣． 故选A 5. 函数y=x2（0≤x≤3）的最大值、最小值分别是（　　） A．9和﹣1 B．9和1 C．9和0 D．1和0 参考答案： C 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据二次函数的性质求出函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值即可． 【解答】解：函数y=x2在[0，3]递增， f（x）的最大值是9最小值是0， 故选：C． 6. 已知函数g（x）与f（x）=ax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称，则g（2）+g（）的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 参考答案： D 【考点】反函数；函数的值． 【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】由已知可得函数g（x）与f（x）=ax（a＞0，a≠1）互为反函数，即g（x）=logax（a＞0，a≠1），结合对数的运算性质，可得答案． 【解答】解：若函数g（x）与f（x）=ax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称， 故函数g（x）与f（x）=ax（a＞0，a≠1）互为反函数， 故g（x）=logax（a＞0，a≠1）， 故g（2）+g（）=loga2+=loga2﹣loga2=0， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是反函数，函数求值，对数的运算性质，难度中档． 7. 当a>1时，在同一坐标系中，函数的图象是(  )   参考答案： B 略 8. 已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为(　　)． A.           B.          C.           D. 参考答案： C 略 9. 在中，若，，，则(     ) （A）     （B）     （C）     （D） 参考答案： D 10. 下列四类函数中，有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是（ ） A．幂函数        B．对数函数         C．余弦函数        D．指数函数 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. _________． 参考答案： 23 12. 函数，的反函数为__________． 参考答案： 【分析】 将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域. 【详解】因为，所以，则反函数为：且. 【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域. 13. 已知，则                    参考答案： 略 14. 函数的值域为           。   参考答案： 略 15. 已知集合M={（x，y）|x+y=3}，N={（x，y）|x﹣y=5}，则M∩N等于　　　　　　． 参考答案： ｛（4，-1）｝ 由题意可得：，解得： ∴M∩N=｛（4，-1）｝   16. 化简=_____________. 参考答案： 1 略 17. 设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则以下结论正确的是　　（写出所有正确结论的编号）． ①； ②|≥|； ③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）； ④f（x）既不是奇函数也不是偶函数． 参考答案： ①②④ 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】利用辅助角公式化简f（x），根据f（x）≤|f（）|可得，a，b的值．然后对个结论依次判断即可． 【解答】解：由f（x）=asin 2x+bcos 2x=sin（2x+φ）． ∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立 ∴当x=时，函数取得最大值，即2×+φ=，解得：φ=． 故得f（x）=sin（2x+）． 则f（）=sin（2×+）=0，∴①对． ②f（）=sin（2×+）= f（）=sin（2×+）=，∴|≥|，∴②对． 由2x+，（k∈Z） 解得： +kπ≤x≤+kπ，（k∈Z） ∴f（x）的单调递增区间是（kπ，kπ+）（k∈Z）；∴③不对 f（x）的对称轴2x+=+kπ，（k∈Z）；∴③ 解得：x=kπ+，不是偶函数， 当x=0时，f（0）=，不关于（0，0）对称， ∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数． 故答案为①②④． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分8分) 已知,函数 （1）求函数的最小值和最小正周期； （2）设的内角的对边分别为，且，，若，求的面积． 参考答案： （1），的最小值为，最小正周期为                                                         ……………3分 （2），则． ∵，∴，因此＝，∴．……………5分 ∵及正弦定理，得．① 由余弦定理，得，且， ∴.  ② 由①②联立，得,．    ……………7分      ……………8分 19. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且点C在对角线MN上，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．       参考答案： 解：设AN的长为x米(x＞2)， ∵ ，∴|AM|＝…………………3′ ∴ ＝|AN|?|AM|＝，  …………………5′ …………8′ .... 10′ 当且仅当，即x＝4时，S＝取得最小值． 即取得最小值24(平方米)    12′ 20. 已知向量向量与向量夹角为，且.    （1）求向量；    （2）若向量与向量=（1，0）的夹角求|2+|的值. 参考答案： 解析：（1）设，有  ① 由夹角为，有. ∴②         由①②解得  ∴即或     （2）由垂直知         ∴ 21. (本小题满分10分)如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，  D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T （不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT． （I）求证：； （II） 若，试求的大小． 参考答案： （1）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定 理，，得 ，设半径OB=，因BD=OB，且BC=OC=， 则，， 所以------------------5分 （2）由（1）可知，，且， 故∽，所以； 根据圆周角定理得，，则  --------10分 22. （本题满分10分） 1）求经过直线x-y=1与2x+y=2的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程。   2）在直线x-y+4=0 上求一点P, 使它到点 M（-2，-4）、N(4,6)的距离相等。 参考答案： 1）解：联立x-y=1与2x+y=2得解得 直线x-y=1与2x+y=2的交点是                           ……2分 将代入x+2y+m=0求得m=-1                              ……3分 所求直线方程为x+2y-1=0                   （法二）易知所求直线的斜率，由点斜式得 化简得x+2y-1=0                                        ……5分 2)解：由直线x－y＋4＝0，得y＝x＋4，点P在该直线上． ∴可设P点的坐标为(a，a＋4)．                                       ……2分 ∴                ……4 解得a＝－，从而a＋4＝－＋4＝.  ∴P                ……5分