上海青浦区颜安中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析

上海青浦区颜安中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由向量的线性运算的法则计算． 【详解】-＝，， ∴+（-）． 故选C． 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 2. 已知椭圆： +=1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若||+||的最大值为5，则b的值是（　　） A．1 B． C． D． 参考答案： D 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论． 【解答】解：由题意： +|AB|=4a=8 ∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3 当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣） 代入椭圆方程可得： ∵c2=4﹣b2 ∴ ∴b= 故选D． 3. 已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（　　） A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0 参考答案： D 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆． 【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程． 【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1， 故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0， 故选：D． 【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题． 4. 在极坐标系中，点到曲线上的点的距离的最小值为 A．2 B．4 C．6 D．8 参考答案： A 由已知得，曲线的直角坐标方程为，可知已知曲线为直线，则点到曲线上的点的距离最小值为. 5. 在数列中，的值为               （    ）     A．55050          B．5051           C．4950           D．4951 参考答案： D 6. 设,且,则    （　　） A． B． C． D． 参考答案： D 7. 函数的单调递减区间是（    ）    A         B         C          D 参考答案： D 8. “a≤0”是“函数在区间内单调递增”的（    ） A. 充分不必要条件       B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 9. 已知m，n为异面直线，α，β为两个不同的平面，α∥m，α∥n，直线l满足l⊥m，l⊥n，l∥β，则（　　） A．α∥β且l∥α B．α∥β且l⊥α C．α⊥β且l∥α D．α⊥β且l⊥α 参考答案： D 【考点】平面与平面之间的位置关系． 【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论． 【解答】解：由α∥m，α∥n，直线l满足l⊥m，l⊥n，可得l⊥α， ∵l∥β， ∴β⊥α， 故选：D． 10. 在右面的程序框图表示的算法中，输入三个实数， 要求输出的是这三个数中最大的数，那么在空白的判断 框中，应该填入（     ） A． B． C．                 D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线的准线方程是y=﹣1，则抛物线的标准方程是　　． 参考答案： x2=4y 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据准线方程为y=﹣1，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案． 【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0）， ∵抛物线的准线方程为y=﹣1， ∴=1， ∴p=2， ∴抛物线的标准方程为：x2=4y． 故答案为：x2=4y． 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题． 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=　  　． 参考答案： 2 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】先求出直线方程的斜率，并表示出双曲线方程的渐近线，再由双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直可知两直线的斜率之积等于﹣1，可求出a的值． 【解答】解：直线l：2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的渐近线可以表示为：y=± 又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直， ∴2×（﹣）=﹣1，∴a=2， 故答案为2 13. 不等式的解集为     . 参考答案： (－1,1) 解：因为 14. 甲、乙、丙三位同学被调查是否去过三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为          ． 参考答案： A 15. 某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种水果的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使 参考答案： 设甲、乙两种水果的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则 ………………1分 ………①   …………4分 目标函数为， ……………5分 不等式组①等价于 可行域如图所示，……………………………7分 目标函数可化为 由此可知当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数取最大值．………………………9分 解方程组  得 的坐标为．…………………………………………………………………………10分 所以．………………………………………………………11分 答：分别种植甲乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元． ………………………………………………………………………………12分 16. 设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，,,则此直三棱柱的高是_______ 参考答案： 【分析】 先求出球的半径R，再求△ABC外接圆的半径r，再根据求直三棱柱的高. 【详解】因为球的表面积是40π，所以 设=x,则， 设△ABC的外接圆的半径为r,则 由题得 所以此直三棱柱的高是. 故答案为：. 【点睛】(1)本题主要考查几何体外接球问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解答本题的关键是根据空间图形得到.   17. 在△中，已知，动点满足条件,则点的轨迹方程为        ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求直线被曲线所截的弦长。 参考答案： 将方程和分别化为普通方程： ，；圆心C（    ），半径为，圆心到直线的距离d=，弦长为。 19. 小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y． （1）求x+y能被3整除的概率； （2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）由于x，y取值为1，2，3，4，5，6，列举出（x，y）为坐标的点和x+y能被3整除的点，由此能求出x+y能被3整除的概率． （2）列举出满足x+y≥10的点和满足x+y≤4的点，从而求出小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平． 【解答】（本题满分12分） 解：（1）由于x，y取值为1，2，3，4，5，6，则以（x，y）为坐标的点有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1）， （2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2）， （3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3）， （4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， （5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）， （6，6），共有36个，即以（x，y）为坐标的点共有36个… x+y能被3整除的点是： （1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2）， （4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）共12个，… 所以x+y能被3整除的概率是p=．… （2）满足x+y≥10的点有： （4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共6个， 所以小王赢的概率是p==，… 满足x+y≤4的点有： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个， 所以小李赢的概率是p=，… 则小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平… 20. 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l：y=kx﹣与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4．列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程． （2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0，转化为：x1x2+y1y2=0．求解即可． 【解答】解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得， 解得，所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1， 故所求椭圆C的方程为． （2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 理由如下： 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线l的方程代入， 并整理，得．（*） 则，． 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O， 所以，即x1x2+y1y2=0． 又 于是，解得， 经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意． 所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 21. 已知如果为真，且为假，求的取值范围。 参考答案： 解：若命题为真，则； 若命题为真，则。 如果为真，为假，那么有且只有一个为真： （1） 若真假，则； （2） 若假真，则。 故，或。 略 22. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，求球O的表面积． 参考答案： 【考点】球的体积和表面积． 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r．利用截面的性质即可得到三棱锥S﹣AB