2022-2023学年湖南省益阳市桃江县第六中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年湖南省益阳市桃江县第六中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 动点在单位圆上绕圆心顺时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时点，则当时，动点的纵坐标关于的函数的单调增区间是（    ） A．     B．       C．        D．和 参考答案： B 略 2. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（    ） A．11.4万元  B．11.8万元  C．12.0万元  D．12.2万元 参考答案： B 试题分析：因为过点，所以，因此当时，，选B. 考点：回归直线方程 3. 由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为(     ) A． B． C． D．1 参考答案： B 考点：定积分在求面积中的应用． 专题：计算题；导数的概念及应用． 分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积． 解答： 解：由曲线y=x2，y=，联立，因为x≥0，所以解得x=0或x=1 所以曲线y=x2与y=所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01= 故选：B． 点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题． 4. 程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（   ） A． 65        B．176       C．183        D． 184 参考答案： D 5. 已知复数，其中为虚数单位，则的实部为 A．       B．       C．       D． 参考答案： D 6. 若，则的夹角是    A.       B.       C.      D. 参考答案： D 略 7. 设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 参考答案： C 【考点】函数的图象与图象变化． 【专题】开放型；函数的性质及应用． 【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决． 【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数， y=log2x﹣a（x＞0）， 即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）． ∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称， ∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0， ∵f（﹣2）+f（﹣4）=1， ∴﹣log22+a﹣log24+a=1， 解得，a=2， 故选：C． 【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题 8. 四个旅行团选择四个景点游览，其中恰有一个景点没有旅行团游览的情况有（   ）种 A．36       B．72       C．144       D．288 参考答案： C 恰有一个景点没有旅行团游览，先从4个旅游团中任选2个，有C种方法，然后与其余2个旅游团看成三组，分别游览4个景点中的3个，有A种方法．由分步计数原理，知共有CA＝144种不同的放法，因此选C． 9. 设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1,0)上是增函数，且，则有（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案. 【详解】解：为奇函数，， 又 ，， 又，且函数在区间上是增函数， ， ， 故选A. 【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力. 10. 已知向量、满足：||=2，||=1，（﹣）?=0，那么向量、的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： C 【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算． 【分析】设向量、的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得关于cosθ的方程，解之可得． 【解答】解：设向量、的夹角为θ，θ∈[0，π] 则由题意可得（﹣）?=﹣ =2×1×cosθ﹣12=0， 解之可得cosθ=，故θ=60° 故选C 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的夹角，属中档题． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义域为R的函数,若关于x的函数有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于________． 参考答案： 15. 12. 如图给出的是计算的值的一个程序框图， 图中空白执行框内应填入             . 参考答案： 略 13. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，sinA=，则=　  　． 参考答案： 3 【考点】正弦定理． 【专题】方程思想；转化思想；解三角形． 【分析】利用正弦定理、比例的性质即可得出． 【解答】解：∵a=1，sinA=，∴=3． 则==3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了正弦定理、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 已知函数只有两个不等实根，则实数的范围是___________     参考答案： [3,4 ) 略 15. 设为锐角，若   ▲  . 参考答案： 16. 中,,是的中点,若,则___．_____. 参考答案： 略 17. 若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是         ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)     如图，五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面ABF是等边三角形，棱EF//BC，且EF=BC．     (I)证明：EO//面ABF；     (Ⅱ)若EF=EO，证明：平面EFO平面ABE． 参考答案： 略 19. （12分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R （1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间； （2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得． 【解答】解：（1）函数h（x）=x﹣alnx+的定义域为（0，+∞）， h′（x）=1﹣﹣=， ①当1+a≤0，即a≤﹣1时， h′（x）＞0， 故h（x）在（0，+∞）上是增函数； ②当1+a＞0，即a＞﹣1时， x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0； 故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数； （2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]， ①当a≤﹣1时， 存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0， 解得，a＜﹣2； ②当﹣1＜a≤0时， 存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2； ③当0＜a≤e﹣1时， 存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解； ④当e﹣1＜a时， 存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（e）=e﹣a+＜0， 解得，a＞； 综上所述， a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）． 【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题． 20. 对于任意的实数()和,不等式恒成立,记实数的最大值是. (1)求的值;  (2)解不等式. 参考答案： 解: (1)不等式恒成立,即对于任意的实数()和恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为,当且仅当时等号成立,即时,成立,也就是的最小值是2. (2) . 解法1:利用绝对值的意义得: 解法2:当时,原不等式化为,解得,所以的取值范围是.当时,原不等式化为 ,得的取值范围是.当时,原不等式化为,解得, 所以的取值范围是.综上所述: 的取值范围是. 解法3:构造函数作 的图象,利用图象有得: .        1 略 21. （本小题满分13分）如图，已知点M在圆O：上运动，MN⊥y轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且． （Ⅰ）求动点Q的轨迹方程； （Ⅱ）直线与（Ⅰ）中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）求当取得最小值时直线l的方程． 参考答案： 解析：（Ⅰ）设动点，点， 因为点在圆上，所以， 因为，所以，， 把，代入得动点Q的轨迹方程为．················ 4分 （Ⅱ）（ⅰ）联立直线l与（Ⅰ）中的轨迹方程得∴，由于有两个交点A、B，故，解得，      ①··························································································· 5分 设，，AB的中点，由根与系数的关系得 故AB的垂直平分线方程为，即．······················ 6分 由圆O上存在两点C、D，满足，，可知AB的垂直平分线与圆O交于C、D两点，由直线与圆的位置关系可得，解得， ② 由①、②解得， m的取值范围是．··································································· 8分 （ⅱ）由（ⅰ）知所以 ，················································ 10分 又直线与圆的相交弦，·········· 11分 ， 由（ⅰ），故当时，取得最小值，···· 12分 故直线l方程为．    13分 略 22. （本小题满分13分） 下图是一几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图。    （I）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；    （II）求证：BD//平面PEC； （III）求平面PEC与平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。 参考答案：