2022-2023学年湖南省郴州市田心中学高一数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省郴州市田心中学高一数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝     (   ) A.1或－    B.1         C.－       D.－2 参考答案： A 2. 是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 参考答案： A 略 3. 如图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（　　） 　 A． S=S+xn 　　B． S=S+ 　　C． S=S+n 　　D． S=S+ 参考答案： A 4. 若，且，则函数  （    ） A． 且为奇函数          B．且为偶函数 C．为增函数且为奇函数           D．为增函数且为偶函数 参考答案： A 略 5. 函数函数的零点个数为 A.3          B.2            C.1               D.0 参考答案： B 略 6. 若a>0,b>0, 2a+b = 6，则的最小值为 A.   B.   C.   D. 参考答案： B 7. 若函数的定义域是，则函数的定义域是     （   ）      A．            B．            C．     D． 参考答案： C 略 8. 从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（　　） 　 A． A与C互斥 B． B与C互斥 　 C． 任两个均互斥 D． 任两个均不互斥 参考答案： B 考点： 互斥事件与对立事件． 专题： 阅读型． 分析： 事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件C同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果． 解答： 解：由题意知事件C包括三种情况， 一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品， ∴事件C中不包含B事件， 事件C和事件B不能同时发生， ∴B与C互斥， 故选B． 点评： 本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论． 9. 不等式(x＋3)2＜1的解集是(　　) A．{x|x＜－2} 　B．{x|x＜－4}   C．{x|－4＜x＜－2}   D．{x|－4≤x≤－2} 参考答案： C 10. 函数在[－2,2]的图像大致为 A. B.  C. D.  参考答案： C 【分析】 由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负，可选择正确的图象． 【详解】易知函数（）是偶函数，图象关于轴对称，可排除BD， 时，，可排除A． 故选C． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是由解析式分析函数的性质，如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 方程的两根均大于1，则实数的范围是    ▲      . 参考答案： . 12. 实数满足, 则=_______. 参考答案：   13. 将函数的图像向右平移个单位，再将所得到的图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则最后所得的图像的函数解析式为         ． 参考答案： 14. 函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是         ． 参考答案： 或 15. 若,且则与的大小关系为    . 参考答案： 16. 如图1，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，则PC＝_  _____。   参考答案： 13cm 略 17. 设函数，设          ． 参考答案： ，，则.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（log2x）=． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x）在定义域 R的单调性； （3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）由已知利用换元法求得函数解析式； （2）直接利用函数单调性的定义证明； （3）由（2）结合函数的奇偶性把不等式f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0恒成立转化为t2﹣2t＞k﹣3t2．分离k后求出函数4t2﹣2t的值域得答案． 【解答】解：（1）∵f（log2x）=，∴令t=log2x， 则x=2t，代入原式中：f（t）=，则f（x）=， 又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（0）=0，解得a=1． 则f（x）=； （2）由（1）知， 设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==． ∵函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2， ∴﹣＞0． 又（+1）（ +1）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）． ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数； （3）∵f（x）是奇函数， 从而不等式：f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（3t2﹣k）=f（k﹣3t2）， ∵f（x）为减函数，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣3t2． 即对一切t∈[1，2]有：4t2﹣2t﹣k＞0，k＜4t2﹣2t， 当t=1时最小，则{k|k＜2}． 19. （本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知2asinA=（2b+c）sinB+(2c+b)sinC   （1）求A的值；   （2）若a=3，求b+c的最大值。 参考答案：   解：（1）由条件可知：2a2=（2b+c）b+（2c+b）c                   2分 即a2=b2+c2+bc             故－2cosA=1 ∴cosA=－    ∴A=                           6分 （2）a2=b2+c2+bc=（b+c）2－bc≥(b+c)2 ∴b+c≤2                                    12分 20. 已知函数． （1）求证：是奇函数； （2）判断的单调性，并证明； （3）已知关于t的不等式恒成立，求实数t的取值范围． 参考答案： 解： （1）证明：由，得， ∵， ∴是奇函数； （2）解：的单调减区间为与没有增区间， 设，则． ∵，∴， ∴， ∴，∴， ∴在上是减函数， 同理，在上也是减函数； （3）是奇函数，∴， ∴化为， 又在上是减函数， ∴，∴，即．   21. （16分）如图，已知扇形周长2+π，面积为，且|+|=1． （1）求∠AOB的大小； （2）如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动．若=x+y，其中x、y∈R，求xy的最大值与最小值的和； （3）若点C、D在以O为圆心的圆上，且=．问 与的夹角θ取何值时，?的值最大？并求出这个最大值． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义；弧度制的应用． 专题： 平面向量及应用． 分析： （1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ．利用扇形面积计算公式与弧长公式可得，解得即可； （2）如图所示，建立直角坐标系．则A（1，0），B．设C（cosα，sinα）.．由于=x+y，可得，可得xy=+，即可得出最值． （3）设C（cosα，sinα），由=，可得D（﹣cosα，﹣sinα），由（2）可得：?=?（﹣cosα﹣1，﹣sinα）=﹣． 由α∈[0，2π），可得∈，∈[﹣1，1]．可得?的最大值为，当=，取得最大值．此时=，=．再利用向量夹角公式可得cosθ==，即可得出． 解答： （1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ． ∵扇形周长2+π，面积为， ∴，解得． ∴∠AOB=． （2）如图所示，建立直角坐标系． 则A（1，0），B．设C（cosα，sinα）.． ∵=x+y， ∴， 解得， ∴xy=+=+=+， ∵，∴∈． ∴∈， ∴xy∈[0，1]． ∴xy的最大值与最小值的和为1． （3）设C（cosα，sinα），∵=，∴D（﹣cosα，﹣sinα）， 由（2）可得：?=?（﹣cosα﹣1，﹣sinα） =﹣ =﹣﹣﹣ = =﹣． ∵α∈[0，2π）， ∴∈， ∴∈[﹣1，1]． ∴?的最大值为，当=，即时，取得最大值． 此时=，=． ∴=，=，==． ∴cosθ===， ∴． ∴ 与的夹角θ=，?的值最大为． 点评： 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、扇形的弧长与面积计算公式、三角函数化简与计算，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22. 设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得； （Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得． 【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==， ∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A） 又B为钝角，∴+A∈（，π）， ∴B=+A，∴B﹣A=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0， ∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A） =sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2（sinA﹣）2+， ∵A∈（0，），∴0＜sinA＜， ∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤ ∴sinA+sinC的取值范围为（，] 【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．