福建省厦门市国际学校2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

福建省厦门市国际学校2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过点且平行于直线的直线方程为（   ） A．　　　　　　　　 B．　　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     C．　　　　　　　　　D． 参考答案： A 2. 设四棱锥  的底面不是平行四边形, 用平面  去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 A. 不存在    B. 只有1个    C. 恰有4个    D. 有无数多个 参考答案： 解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 、, 直线 、 确定了一个平面 . 作与  平行的平面 , 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面  有无数多个．故选 D． 3. 设a、b、c是△ABC的三个内角A、B、C所对的边()，且lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列，那么直线与直线的位置关系是                              (      ) A.平行                B.垂直          C.相交但不垂直     D.重合 参考答案： B 4. 执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】循环结构． 【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n， 执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S． 【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2， 判断2≤10成立，执行，i=2+2=4； 判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6； 判断6≤10成立，执行，i=6+2=8； 判断8≤10成立，执行，i=8+2=10； 判断10≤10成立，执行，i=10+2=12； 判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为． 故选A． 5. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：   男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 附表： 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（   ） A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 参考答案： A 【详解】由，而，故由独立性检验的意义可知选A 6. 对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则数列的通项公式＝    A. B. C. D. 参考答案： C 略 7. 抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为（   ） A.       B.          C.            D. 参考答案： B 8. 已知△ABC中，，试判断△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 参考答案： A 9. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得    A. 当时，该命题不成立              B. 当时，该命题成立 C. 当时，该命题成立                D. 当时，该命题不成立 参考答案： D 略 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当，则当 ( )   A． B． C． D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数的虚部为________. 参考答案： 12. 一物体运动过程中位移h(米)与时间t（秒）的函数关系式为，当t=2秒时的瞬时速度是          （米／秒）。 参考答案： 10 略 13. 平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面AB B1A1=n，则m，n所成角的正弦值为　　． 参考答案： 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，由△CB1D1是正三角形，即可得出m、n所成角． 【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n， 可知：n∥CD1，m∥B1D1， ∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°． 则m、n所成角的正弦值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、等边三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_____。 参考答案：   解析： 底面边长为，高为，   15. 三个数的最大公约数是_________________。 参考答案：    解析： 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=　　． 参考答案： 30° 【考点】正弦定理． 【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数． 【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b， 代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2， ∴由余弦定理得：cosA===， ∵A为三角形的内角， ∴A=30°． 故答案为：30° 17. 用数学归纳法证明“ ”时，从“”变到 “”时，左边应增乘的因式是             参考答案：    2(2k+1)(其他形式同样给分) 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．     已知． （1）当时，判断的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若，求的值； （3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）当时，既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵，∴ 所以既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当时，， 由得             ……………………………2分 即或        ………………………2分 解得 所以或．     ………………2分 （3）当时，取任意实数，不等式恒成立， 故只需考虑，此时原不等式变为    即       ………………………………………………………2分 故  又函数在上单调递增，所以； 对于函数 ①当时，在上单调递减，，又， 所以，此时的取值范围是． ……………………………………2分 ②当，在上，， 当时，，此时要使存在， 必须有     即，此时的取值范围是     综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是．     略 19. （本小题满分10分） 已知命题p：命题q：．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 参考答案： 20. （13分）已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，（I）求证：AC⊥BF； （II）若二面角F—BD—A的大小为60°，求a的值。 参考答案： 解：以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系，                                  （1）                                       （2）平面ABD的法向量               21. 如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4． （1）求椭圆C的方程； （2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程； （2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值； 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值 【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得① 由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b= 故椭圆的方程为 （2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③ 代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）， x1+x2=，④ 在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k）， 从而，， =k﹣ 注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+） =2k﹣×⑤ ④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1 又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3 故存在常数λ=2符合题意 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为 令x=4，求得M（4，） 从而直线PM的斜率为k3=， 联立，得A（，）， 则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2= 所以k1+k2=+=2×=2k3， 故存在常数λ=2符合题意 22. 已知复数，（，i为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求实数a的值； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围. 参考答案： 解：（1）依据 根据题意是纯虚数， ； （2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限，可得 所以，实数的取值范围为