湖北省荆门市月亮湖中学高一数学理期末试卷含解析

湖北省荆门市月亮湖中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某人从2011年起，每年1月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率为r保持不变，每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期，到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)(     ) A.a(1+r)5                  B.［(1+r)5-(1+r)］      C.a(1+r)6           D.［(1+r)6-(1+r)］ 参考答案： B 略 2. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为（　　）. A． B． C． D． 参考答案： C 3. 甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是(　　) A. ，且甲比乙成绩稳定 B. ，且乙比甲成绩稳定 C. ，且甲比乙成绩稳定 D. ，且乙比甲成绩稳定 参考答案： A 【分析】 利用茎叶图求出甲、乙两位同学的平均成绩和方差，分别比较这两个数的大小，可得出结论。 【详解】由茎叶图可知，甲同学成绩的平均数为， 方差为， 乙同学成绩的平均数为， 方差为，则，， 因此，，且甲比成绩稳乙定，故选：A。 【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数和方差的计算，在求解有关茎叶图中数据的计算时，先将数据由小到大或由大到小排列，结合相关公式进行计算， 考查计算能力，属于中等题。 4. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1， 则的值为（    ）     A．2 B．4 C．6 D．8     参考答案： 解析：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+         同理     原式=选A     . 5. 设集合，则 （  ）        A.           B.          C.           D. 参考答案： D 略 6. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，，PA=PD=AB=2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（　　） A．2π B．4π C．8π D．12π 参考答案： D 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【分析】设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=12+（﹣d）2，求出R，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积． 【解答】解：取AD的中点E，连接PE， △PAD中，PA=PD=2，，∴PA⊥PD，∴PE=， 设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=， 设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=12+（﹣d）2， ∴d=0，R=， ∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=12π． 故选：D． 7. 设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 参考答案： B 【考点】平面与平面之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题 【解答】解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A； B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确； C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C； D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D 故选 B 【点评】本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题 8. 由确定的等差数列中，当时，序号等于    A．99          B.100          C.96          D.101 参考答案： B 略 9. 已知a=21.2，b=（）﹣0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 参考答案： C 【考点】对数的运算性质． 【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵b=（）﹣0.2=20.2＜21.2=a， ∴a＞b＞1． ∵c=2log52=log54＜1， ∴a＞b＞c． 故选：C． 10. 下列函数中，是偶函数且在为增函数的是（   ） A.    B.                  C.             D. 参考答案： C 试题分析：偶函数仅有B、C，B中函数在是减函数，选C. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一箱苹果，4个4个地数，最后余下1个；5个5个地数，最后余下2个；9个9个地数，最后余下7个,这箱苹果至少有_____个 参考答案： 97 12.           参考答案： 略 13. 函数在上是减函数，则实数a的最小值是   ▲   ． 参考答案： 5 14. 对任意两个实数，定义若，，则的最小值为________________. 参考答案： 略 15. 若函数（）是偶函数，则实数=      参考答案： .0     略 16. 函数，给出下列4个命题： ①在区间上是减函数；    ②直线是函数图像的一条对称轴； ③函数f（x）的图像可由函数的图像向左平移而得到； ④若，则f（x）的值域是． 其中正确命题序号是                      。 参考答案： ①② 17. 直线恒经过定点，则点的坐标为 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，其中点P（1，2）为函数图象的一个最高点，Q（4，0）为函数图象与x轴的一个交点，O为坐标原点． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象，求函数h（x）=f（x）?g（x）图象的对称中心． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】（Ⅰ）由题意得振幅A，周期T，利用周期公式可求ω，将点P（1，2）代入解析式，结合范围0＜φ＜，可求φ，即可得解函数解析式． （Ⅱ）利用三角函数的图象变换可得g（x）=2sinx，利用三角函数恒等变换可求h（x）=1+2sin（x﹣），由，即可得解对称中心． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由题意得振幅A=2，周期T=4×（4﹣1）=12， 又=12，则ω=… 将点P（1，2）代入f（x）=2sin（x+φ），得sin（x+φ）=1， ∵0＜φ＜， ∴φ=，… 故f（x）=2sin（x+）… （Ⅱ）由题意可得g（x）=2sin[（x﹣2）+]=2sinx… ∴h（x）=f（x）?g（x）=4sin（x+）?sinx=2sin2x+2sinx?cosx=1﹣cosx+sinx =1+2sin（x﹣）… 由，得：． ∴y=h（x）图象的对称中心为：… 19. （16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）． （1）试用x表示S，并求S的取值范围； （2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）； （3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数的值． 【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】（1）由解直角三角形，可得矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，运用二次函数的最值求法，可得值域； （2）由三角形的面积和题意可得总造价T=T1+T2，即可得到所求； （3）运用基本不等式，计算即可得到所求x=12或18． 【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°， ∴， 矩形AMPN的面积，x∈[10，20]， 由x（30﹣x）≤（）2=225，当x=15时，可得最大值为225， 当x=10或20时，取得最小值200， 于是为所求． （2）矩形AMPN健身场地造价T1=， 又△ABC的面积为，即草坪造价T2=， 由总造价T=T1+T2， ∴，． （3）∵， 当且仅当即时等号成立， 此时，解得x=12或x=18， 答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低． 【点评】本题考查函数模型的运用，考查函数的值域和最值的求法，注意运用函数的单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题． 20. 已知cos（+x）=，求的值． 参考答案： 【考点】GO：运用诱导公式化简求值． 【分析】由已知可得cosx﹣sinx的值，平方可得sinxcosx的值，化简原式，整体代入化简可得． 【解答】解：∵cos（+x）=，∴（cosx﹣sinx）=， ∴cosx﹣sinx=，平方可得1﹣2sinxcosx=， ∴sinxcosx=， ∴==2sinxcosx=． 21. 已知函数 （1）求的值；（2）解不等式． 参考答案： 解：（1）-----------------------4分 （2）原不等式可化为 ①  或②-------------------------7分 解①得-------------------------------------------------------------------8分 解②得---------------------------------------------------------------------10分 综上，原不等式的解集为----------------------------------------------12分 （注：结论没写成集合的不给结果分） 略 22. （本小题满分10分） 过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，的面积等于6，求直线的方程. 参考答案：