湖北省武汉市墨水湖中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省武汉市墨水湖中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用0＜a＜1，判断ax，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解ax﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象． 【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜ax＜1，﹣1＜ax﹣1＜0，＜﹣1， x＜0时，ax＞1，ax﹣1＞0，＞0， 观察函数的图象可知：B满足题意． 故选：B． 【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质． 2. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（  ） （A）        （B）         (C)            (D) 参考答案： C 略 3. 存在实数x，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（     ） A．[－2,2]    B．(－∞,－2]∪[2,+∞)     C．(－2,2)     D．(－∞,－2)∪(2,+∞) 参考答案： D 4. 向量，=（x, y）若与-的夹角等于，则的最大值为(    )     A．2              B．          C．4              D．  参考答案： C 由题意可知不共线    且，则有，即，即，则判别式，即，所以，即，所以的最大值为4，选C. 5. 已知函数f(x)=cos(2x﹣)(x∈R)，下列结论错误的是（　　） A．函数f（x）的最小正周期为π B．函数f（x）图象关于点(，0)对称 C．函数f（x）在区间[0，]上是减函数 D．函数f（x）的图象关于直线x=对称 参考答案： C 【考点】余弦函数的单调性． 【分析】根据余弦函数的图象与性质，对称轴处取得函数的最值，对称中心是函数与x 轴的交点，由x的范围求得函数的单调性，即可判断选项命题的正误． 【解答】解：函数， f（x）的最小正周期为T==π，故A正确； 当x=时，y=cos（2×﹣）=0， ∴f（x）的图象关于点对称，B正确； x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]， f（x）=cos（2x﹣）不是减函数，C错误； 当x=时，y=cos（2×﹣）=为最大值， ∴f（x）的图象关于x=对称，D正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了余弦函数的图象与性质的应用问题：三角函数在对称轴处取得函数的最值，对称中心是函数与x轴的交点；函数的单调区间、最值的求解采用整体处理；是基础题目． 6. 若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ） A. ????? B. C.                  D. 参考答案： D 7. 已知集合，，则　　 　　　(     ) Ａ.　　　　　Ｂ.   　　　　Ｃ.　　　　　Ｄ.     参考答案： C 略 8. 是成立的        A．充分不必要条件                                        B．必要不充分条件 C．充要条件                                                   D．既不充分也不必要条件 参考答案： 答案:C 9. 若＝在上恒正，则实数的取值范围是（     ） A．      B．       C．     D． 参考答案： C 10. ，点在边上，，   设，则          （     ）                       参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若向量，，，则       . 参考答案： 12. 已知锐角满足，则的最大值为_______________. 参考答案： 13. 设函数的最小正周期为，且其图像关于 直线对称，则下面四个结论： ① 图像关于点对称；       ②图像关于点对称； ③ 在上是增函数；           ④在上是减函数； 正确结论的编号是____________。 参考答案： ②③ 14. 已知且，则＝      ． 参考答案： 15. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则              参考答案： 16. 已知A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则 +的最小值是　    　． 参考答案： 11+6   【考点】基本不等式；三点共线． 【分析】由A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三点共线，可得kAB=kAC，化为3a+2b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三点共线， ∴kAB=kAC， =，化为3a+2b=1． 则+=（3a+2b）=11+≥11+3×2×=11+6，当且仅当a=b时取等号． 故答案为：11+6． 　 17. 若函数有3个不同零点，则实数的取值范围是      参考答案： -2＜a＜2 试题分析：由函数有三个不同的零点，则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；由，解得，所以函数f（x）的两个极，， ，∴函数的极小值f（1）=a-2和极大值f（-1）=a+2．因为函数有三个不同的零点，所以a+2>0,a-2<0，解之，得-2＜a＜2．故实数a的取值范围是A. 考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.函数的零点. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直角梯形ABCD中，，平面ABCD外一点P在平ABCD内的射影Q恰在边AD的中点Q上，． （1）求证：平面PQB⊥平面PAD； （2）若M在线段PC上，且PA∥平面BMQ，求点M到平面PAB的距离． 参考答案： （1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）推导出PQ⊥平面ABCD，PQ⊥AD，CD∥BQ，从而BQ⊥AD，进而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD． （2）连接AC与BQ交于点N，则N为AC中点，则点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的，求出三棱锥P-ABC的体积V=，PAB的面积为，设点M到平面PAB的距离为d，由VC-PAB=VP-ABC，能求出点M到平面PAB的距离． 【详解】（1）∵P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上， ∴PQ⊥平面ABCD， ∵AD?平面ABCD，∴PQ⊥AD， ∵Q为线段AD中点， ∴CD∥BQ，∴BQ⊥AD，∴AD⊥平面PBQ，AD?平面PAD， ∴平面PQB⊥平面PAD． （2）连接AC与BQ交于点N，则N为AC中点， ∴点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的， 在三棱锥P-ABC中，高PQ=，底面积为， ∴三棱锥P-ABC的体积V==， 又△PAB中，PA=AB=2，PB=， ∴△PAB的面积为， 设点M到平面PAB的距离为d， 由VC-PAB=VP-ABC，得=， 解得d=， ∴点M到平面PAB的距离为． 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题． 19. 2014年3月1日,部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试，岳阳、长沙两城之间开通了高速列车，假设岳阳到长沙每天8：00–9：00，9：00–10：00两个时间段内各有一趟列车从岳阳到长沙（两车发车情况互不影响），岳阳发车时间及其概率如下表所示 ： 发车时间 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 若甲、乙两位同学打算从岳阳到长沙参加自主招生，假设他们到达岳阳火车站候车的时间分别是周五8：00和周六8：20.（只考虑候车时间，不考虑其它因素） （1）设乙同学候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）求甲、乙二人候车时间相等的概率. 参考答案： 解：（1）X的所有可能取值为10、 30、 50、 70、90（分钟）...........2分 其概率分布列如下 X 10 30 50 70 90 P                                                           ....6分 （2）甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为 ，  ，；………8分 ， ，………10分 所以＝++＝＝，即甲、乙二人候车时间相等的概率为………12分 略 20. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB=，且α∈(，). （Ⅰ）若cos(α+)，求的值； （Ⅱ）过点A,B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.   参考答案： （Ⅰ）由三角函数的定义有， ……………………2分 ∵ ， ∴ ， ………………………………………………………………4分 ∴ ， ∴ ． …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由，得． 又，于是， ∴ ， ………………8分 ∴ = = = = ，即．………………………………12分 21. 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为， . （Ⅰ）求C的参数方程； （Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标. 参考答案：     22. 已知函数f（x）=|x﹣1|． （1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8； （2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集． （Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=， 当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5； 当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立； 当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3． 所以，不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}． （Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|． 因为|a|＜1，|b|＜1， 所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， 所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．