湖南省益阳市筑金坝中学高二数学理期末试卷含解析

湖南省益阳市筑金坝中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是    （    ）   A．           B．1           C．2              D．3 参考答案： B 略 2. 如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（  ）   A．11       B．9      C．12       D．10 参考答案： C 3. 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　) A．a>b＋1  B．a>b－1 C．a2>b2  D．a3>b3 参考答案： A 4. 已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（   ） A．4        B．5         C．6         D．7 参考答案： B 5. 函数f（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 参考答案： D 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数?函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数． 画出函数f（x）与函数y=log4x的图象（如图），根据图象可得答案． 【解答】解：函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数?函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数． 画出函数f（x）与函数y=log4x的图象（如图）， 根据图象可得函数f（x）与函数y=log4x的图象交点为5个． ∴函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为5个． 故选：D 6. 已知复数，那么对应的点位于复平面内的 A. 第一象限                                                  B. 第二象限 C. 第三象限                                                  D. 第四象限 参考答案： D 7. 双曲线的焦距是 A．               B．4                C．                D．8 参考答案： C 8. 右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（　　）. A．        B．    C．        D． 参考答案： D 9. 已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（　　） A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2 参考答案： A 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用完全平方式展开化简即可． 【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i； 故选：A． 10. 右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是(     ) A               B            C            D 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 采用系统抽样从含有8000个个体的总体（编号为0000，0001，…，，7999）中抽取一个容量为50的样本，已知最后一个入样编号是7900，则最前面2个入样编号是         参考答案： 0060，0220  12. 已知函数的图象恒过定点(m，n)，且函数在 [1,+∞)上单调递减，则实数b的取值范围是_______. 参考答案： 【分析】 先求出m=-1,n=3.再利用二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】由题得函数的图象恒过定点， 所以m=-1,n=3. 所以, 函数的对称轴方程为， 函数在上单调递减， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查对数型函数的定点问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 13. 在棱长为1的正方体中，BD与所成的角是        ，AC与所成的角是        。 参考答案： ， 略 14. 若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是         . 参考答案： （-∞,-1] 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案． 【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立， 即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立， 由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1， 15. 无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，则定点的坐标为      参考答案： (7/2,5/2) 16. ① 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题 ② 命题“若，则”的否命题为“若，则” ③ “”是“ ”的充分不必要条件 ④ 命题“”的否定是“ ” 上述判断正确的是_____________. 参考答案： ④ 略 17. 用0、1、2、3、4这5个数字可组成没有重复数字的三位偶数_   __个． 参考答案： 30 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）根据题意，可得，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案； （Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得，进而分析可得，解可得k、m的值，即可得答案． 【解答】解：（I）由题意得，解得a2=4，b2=1． 所以椭圆C的方程为．….. （Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论： （1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意； （2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）． 将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，． 故，． 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即． 则． 由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1﹣k． 则， 则（4k2+1）（8k﹣3）=0． 则．满足△＞0． 所以直线l的方程为时，四边形OAPB为平行四边形． 综上所述：直线l的方程为或x=1．….. 19. （本小题满分12分） 已知椭圆：，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，点坐标为，直线和斜率乘积为． （1）求椭圆离心率； （2）若弦的最小值为，求椭圆的方程． 参考答案： （1）设，由对称性得 将代入椭圆得   ------------2分 又∴∴∴  ---------------------5分 （2）椭圆方程可化为联立 得       ---------------------------------7分 设O为坐标原点，则同理可得 ∴      -------------------------------10分 当且仅当即时取等号，此时∴ ∴椭圆方程为         --------------------------------12分 20. 已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C1的方程； （Ⅱ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）根据a2=2b2以及e的值，求出a，b的值，从而求出椭圆的方程； （Ⅱ）设出直线AC的方程，联立椭圆的方程求出|AC|，|BD|的表达式，结合不等式的性质求出四边形ABCD的面积的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴a2=2b2， ∵直线l：x﹣y+2=0与圆x2+y2=b2相切∴， ∴b=2，b2=4，∴a2=8， ∴椭圆C1的方程是．… （Ⅱ）当直线AC的斜率存在且不为零时， 设直线AC的斜率为k，A（x1，y1），C（x2，y2）， 则直线AC的方程为y=k（x﹣2）． 联立． 所以， …． 由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得 因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为….. 由 所以时取等号．… 易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8 综上可得，四边形ABCD面积的最小值为．… 21. 如图1，在中，= 90°，，分别是上的点，且∥，，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求证：⊥平面； （2）若是的中点，求与平面所成角的大小； （3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？ 说明理由. 参考答案： 证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D， ∴DE⊥平面A1CD， 又∵A1C?平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A1C⊥平面BCDE （2）解：如图建系C﹣xyz，则D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0） ∴， 设平面A1BE法向量为 则∴∴ ∴ 又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，） ∴ ∴CM与平面A1BE所成角的大小45° （3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3] ∴， 设平面A1DP法向量为 则∴ ∴ 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则， ∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3 ∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直 略 22. 已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点.求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围. 参考答案： 解：由题设知x1＋x2＝a，x1x2＝－2， ∴|x1－x2|＝＝. a∈[1,2]时，的最小值为3，要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需 |m－5|≤3，即2≤m≤8. 由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式 Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16＞0， 得m＜－1或m＞4.，综上，要使“p且q”为真命题，只需p真q真，   即     解得实数m的取值范围是(4,8].