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河南省商丘市城关镇东关中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆O1的方程为,圆O2的方程为,那么这两个圆的位置关系不可能是( )
A. 外离
B. 外切
C. 内含
D. 内切
参考答案:
C
【分析】
分别求出两圆的圆心坐标和半径,求出圆心距,可以求出圆心距的最小值,然后与两圆半径的和、差的绝对值,进行比较,最后得出答案.
【详解】因为圆的方程为,所以圆的圆心坐标为,半径为2,又因为圆的方程为,所以圆的圆心坐标为,半径为,因此有,两圆的半径和为,半径差的绝对值为,故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值,不可能是内含关系,故本题选C.
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系的判断,求出圆心距的最小值是解题的关键.
2. 下列幂函数中,定义域为R的是( )
A.y=x2 B.y=x C.y=x D.y=x
参考答案:
A
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】直接利用幂函数的定义域判断即可.
【解答】解:y=x2的定义域是R,A正确;
y=x的定义域是x≥0,B不正确;
y=x的定义域是x≥0,C不正确;
y=x的定义域是x>0,D不正确;
故选:A.
3. 已知数列中,,则数列的通项为
A、 B、
C、 D、
参考答案:
B
4. (5分)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ
③若m∥α,n∥α,则m∥n
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
其中正确命题的序号是()
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
参考答案:
A
考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.
专题: 证明题;压轴题;空间位置关系与距离.
分析: 根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行的性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正确.由此可得本题的答案.
解答: 解:对于①,因为n∥α,所以经过n作平面β,使β∩α=l,可得n∥l,
又因为m⊥α,l?α,所以m⊥l,结合n∥l得m⊥n.由此可得①是真命题;
对于②,因为α∥β且β∥γ,所以α∥γ,结合m⊥α,可得m⊥γ,故②是真命题;
对于③,设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线,
而平面α是正方体下底面所在的平面,
则有m∥α且n∥α成立,但不能推出m∥n,故③不正确;
对于④,设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面,
则有α⊥γ且β⊥γ,但是α⊥β,推不出α∥β,故④不正确.
综上所述,其中正确命题的序号是①和②
故选:A
点评: 本题给出关于空间线面位置关系的命题,要我们找出其中的真命题,着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题.
5. 甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球,其中甲袋中有3个红球,2个白球,乙袋中有2个红球,3个白球,现从两袋中各随机取一球,则两球不同颜色的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
现从两袋中各随机取一球,基本事件总数,两球不同颜色包含的基本事件个数,由此能求出两球不同颜色的概率.
【详解】甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球,
其中甲袋中有3个红球、2个白球,乙袋中有2个红球、3个白球,
现从两袋中各随机取一球,基本事件总数,
两球不同颜色包含的基本事件个数,
则两球不同颜色的概率为.
故选:D.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
6. 函数y = sin x cos x + cos x + sin x + 1的值域是( )
(A)[ 0,+ ∞ ]) (B)( 0,+ ∞ ) (C)[–,+] (D)[ 0,+]
参考答案:
D
7. 某公司现有职员160人,中级管理人员30人,高级管理人员10人,要从其中抽取20人进行体检,如果采用分层抽样的方法,则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为 ( )
A. 8,15,7 B. 16,2,2 C. 16,3,1 D. 12,5,3
参考答案:
C
8. 已x,y满足约束条件,若对于满足条件的x,y,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( ▲ )
A.B.C.D.
参考答案:
A
9. sin的值等于( )
A. B.﹣ C. D.﹣
参考答案:
C
【考点】GO:运用诱导公式化简求值.
【分析】利用特殊角的三角函数值即可得到结果.
【解答】解:sin=.
故选:C.
10. 已知函数定义域是,则的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某种病毒每经30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒,经过x小时后,病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为 ,经过5小时,1个病毒能分裂成 个.
参考答案:
y=4x,1024.
【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的值.
【专题】计算题;应用题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】可以通过归纳的方法得出病毒个数y与x(小时)的函数关系式:分别求经过1个30分钟,2个30分钟,3个30分钟病毒所分裂成的个数,从而得出x小时后所分裂的个数y,即得出y,x的函数关系式,而令关系式中的x=5便可得出经过5小时,一个病毒所分裂成的个数.
【解答】解:设原有1个病毒;
经过1个30分钟变成2=21个;
经过2个30分钟变成2×2=4=22个;
经过3个30分钟变成4×2=8=23个;
…
经过个30分钟变成22x=4x个;
∴病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为y=4x;
∴经过5小时,1个病毒能分裂成45=1024个.
故答案为:y=4x,1024.
【点评】考查根据实际问题建立函数关系式的方法,以及归纳的方法得出函数关系式,已知函数求值的方法.
12. 已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1. 则BC与平面ABC所成的角的正切值为______________.
参考答案:
13. 已知函数y=Asin(ωx+φ),其中A>0,ω>0,|φ|≤π,在一个周期内,当时,函数取得最小值﹣2;当时,函数取得最大值2,由上面的条件可知,该函数的解析式为 .
参考答案:
y=2sin(2x﹣)
【考点】正弦函数的图象.
【分析】根据函数的最大值求得A=2,相邻的最大值最小值之间的距离为,求得T=π,ω=2,将(,﹣2),
代入y=2sin(2x+φ),求得φ=﹣,即求得解析式.
【解答】解:由函数的最小值为﹣2,
∴A=2,
,T=π,
=2,
∵函数图形过点(,﹣2),代入y=2sin(2x+φ),
∴φ=﹣,
∴函数的解析式为:y=2sin(2x﹣),
故答案为:y=2sin(2x﹣).
14. 若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 .
参考答案:
4
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.
【解答】解:作出不等式对应的平面区域如图,
由z=3x+y,得y=﹣3x+z,
平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z,经过点A时,
直线y=﹣3x+z的截距最大,
此时z最大.
由得,即A(1,1),
此时z的最大值为z=3×1+1=4,
故答案为:4
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法,要熟练掌握目标函数的几何意义.
15. 设函数,且对任意
,则=_____________________。
参考答案:
解析:
=
即。
16. 已知幂函数的图像经过点(2,32)则它的解析式是 .
参考答案:
17. 等差数列中,已知,,则的取值范围是__▲_____.
参考答案:
,即的取值范围是
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有.
(1)求数列、的通项公式;
(2)令.
①求证:;
②若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.
参考答案:
(1),
∵,∴ (),
两式相减得,()
∴,即( ),
∴(),
又,也满足上式,故数列的通项公式().
由,知数列是等比数列,其首项、公比均为,
∴数列的通项公式.(若列出、、直接得而没有证明扣1分)
(2)(1)∴ ①
∴ ②
由①-②,得,
∴
又恒正,故是递增数列,
∴ .
(2)又不等式即,即()恒成立. 10分
方法一:设(),
当时,恒成立,则满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时, 由于对称轴,则在上单调递减,恒成立,则满足条件.
综上所述,实数λ的取值范围是.
方法二:也即()恒成立,
令.则,
由,单调递增且大于0,∴单调递增,当时,,且,故,∴实数λ的取值范围是.
19. 定义在R上的函数满足:对任意实数,总有,且当时,.
(1)试求的值;
(2)判断的单调性并证明你的结论;
参考答案:
解:(1)在中,令.得:
.
因为,所以,.---------------4分
在中,令,,则得.
∵ 时,,
∴ 当时,.-----------------------11分
又,所以,综上,可知,对于任意,均有.
∴ .
∴ 函数在R上单调递减.------------------------------13分
20. (14分)已知角θ的终边经过点P(3,﹣4).
(1)求sinθ,cosθ和tanθ的值;
(2)求的值.
参考答案:
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】(1)由题意可得 x=3,y=﹣4,r=5,根据三角函数的定义可得sinθ,cosθ和tanθ的值.
(2)利用诱导公式化简所求,结合(1)结论即可计算得解.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)因为角θ的终边经过点P(3,﹣4),
所以x=3,y=﹣4,
所以 ,…(1分)
所以 ,…
,…
.…(7分)
(2)因为 cos(3π﹣θ)=﹣cosθ,…(8分)
,…(9分)
,…(10分)
tan(π+θ)=tanθ,…(11分)
所以…(12分)
=. …(14分)
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式,诱导公式的应用,求出x、y、r 的值,
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