湖北省襄阳市襄樊汇文外国语学校高三数学理下学期期末试卷含解析

湖北省襄阳市襄樊汇文外国语学校高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “”是“函数在区间内单调递增”的（   ） A．充分而不必要条件                     B．必要而不充分条件 C．充分必要条件                 .D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 函数,函数的对称轴为，所以要使函数在内单调递增，所以有，所以“”是“函数在区间内单调递增”的充分不必要条件，选A. 2. 已知m，n为异面直线，平面，平面，，则直线（    ） A. 与m，n都相交                B. 与m，n都不相交 C. 与m，n中至少一条相交        D. 至多与m，n中的一条相交 参考答案： 答案：C 3. 设，若z的最大值为12，则z的最小值为（    ） A．-3 B．-6 C．3 D．6 参考答案： B 4. 函数的图象的图象（　　） A．关于原点对称 B．关于直线 y=﹣x 对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y=x 对称 参考答案： A 【考点】3O：函数的图象． 【分析】判断函数奇偶性，根据奇偶性得出结论． 【解答】解：由函数有意义得＞0，解得﹣2＜x＜2， 设f（x）=log2，则f（﹣x）=log2=﹣log=﹣f（x）， ∴y=log2是奇函数， ∴y=log2的图象关于原点对称． 故选A． 5. 已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（   ） A．8π B．12π C．4π D．16π 参考答案： A 由三视图知识可得，题中的几何体是如图所示的长方体中的四棱锥， 侧视图为直角三角形，则：, 据此有：,长方体的高为， 取上下底面的中心,该几何体的外接球在直线上， 计算可得：, 则为外接球的球心，半径为， 该四棱锥的外接球的表面积为. 本题选择A选项. 6. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框中可以填入的条件为（   ） A．    B．    C．    D． 参考答案： ，满足条件，，满足条件，，满足条件，满足条件，，有题意，此时该不满足条件，推出循环，输出，所以判断框内可填入的条件是?,故选D. 考点：循环结构 7. 若，则函数的最大值和最小值为   （      ） A、最大值为2，最小值为；     B、最大值为2，最小值为0； C、最大值为2，最小值不存在；   D、最大值不存在，最小值为0； 参考答案： D 8. 若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是(     ) A．[－1,0]   B．(－1,0)   C．(－∞,0]∪[1,+∞)    D．(－∞, －1)∪(0,+∞) 参考答案： A 9. 函数的定义域是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： D 略 10. 已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，a12=                                      （    ）        A．-3                       B．3                        C．6                        D．0 参考答案： 答案：D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线y=kx+1被曲线截得的线段长度最大值是__________． 参考答案： 4 12. 写出命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是                ． 参考答案： “任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0” 【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题．，即可得到结论． 【解答】解：∵命题是特称命题， ∴命题的否定是“任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”， 故答案为：“任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0” 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键． 13. 对于，有如下命题：①若,则为等腰三角形；②若则为直角三角形；③若则为钝角三角形.其中正确命题的序号是                   参考答案： 略 14. 若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为　　． 参考答案： ﹣e 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；导数的概念及应用． 【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出关于x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值． 【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0）， 对y=xlnx求导数，得 ∴切线的斜率k=lnx0+1， 故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0）， 整理得y=（lnx0+1）x﹣x0， 与y=2x+m比较得， 解得x0=e，故m=﹣e． 故答案为：﹣e 【点评】本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率等于2，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题． 15. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是      ; 参考答案： 0 由于圆C的方程为（x-4）2+y2=1，由题意可知，只需（x-4）2+y2=4与直线有公共点即可，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可，得到的最大值是0 16. 已知圆的极坐标方程为，则该圆的半径是______________． 参考答案： 1 略 17. 已知函数的图像如图１所示，则＝               ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点． （1）求证：直线DE∥平面ABC； （2）求锐二面角B1﹣AE﹣F的余弦值． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定． 【分析】（1）证法1：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC； 证法2：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=AA1=4，只需平面ABC的法向量 与垂直即可． （2）：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=AA1=4，求出两个面的法向量即可利用向量法求解． 【解答】解：（1）方法一：设AB的中点为G，连接DG，CG，则， 四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又DE?ABC，GC?ABC∴DE∥平面ABC．…（6分） 方法二：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=AA1=4， 则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0）， B1（4，0，4），D（2，0，2）．…（2分）， 平面ABC的法向量为． ∵，∴， 又∵DE?ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分） （2）∵，，， ∴，∴， ∵AF∩EF=F∴B1F⊥平面AEF． ∴平面AEF的一个法向量为．…（8分） 设平面 B1AE的法向量为，则由，即． 令x=2，则z=﹣2，y=1∴． ∴…（12分） ∴二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为． 【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题． 19. 设函数， （1）当a=1时，求不等式的解集． （2）若在上恒成立，求实数的最大值。 参考答案： 解：(1). (2) 20. 设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）． （1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线L的方程，并证明：除点A外，曲线y=f（x）都在直线L的下方； （2）若函数h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据函数的单调性判断即可； （2）问题转化为a=在x∈（1，3）上有实数根，设F（x）=，根据函数的单调性求出F（x）的最大值和最小值，从而求出a的范围即可． 【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a， ∵f（1）=﹣a，∴L的方程是：y+a=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x﹣1， 设p（x）=f（x）﹣（1﹣a）x+1=lnx﹣x+1，则p′（x）=， 若x＞1，p′（x）＜0，若0＜x＜1，p′（x）＞0， 故p（x）max=p（1）=0，p（x）≤0， ∴f（x）≤（1﹣a）x﹣1，当且仅当x=1时“=”成立， 故除点A外，切线y=f（x）都在直线L的下方； （2）h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点， 即a=在x∈（1，3）上有实数根， 设F（x）=，则F′（x）=， 设g（x）=ex（x﹣1）+1﹣lnx，则g′（x）=x（ex﹣）， 而y=ex﹣（x＞0）的零点在（0，1）上，且y＞0在（1，3）恒成立， ∴g′（x）＞0，即g（x）在（1，3）上都在， ∴g（x）＞g（1）=1，则F′（x）＞0在（1，3）上恒成立， ∴F（x）在（1，3）上递增， 故F（x）min=F（1）=e，F（x）max=F（3）=， ∴F（x）∈（e，）， 故a∈（e，）． 21. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）． （1）求图中的值； （2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？   晋级成功 晋级失败 合计 男 16     女     50 合计         （参考公式：，其中） 0．40 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．780 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 （3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望． 参考答案： (Ⅰ);(Ⅱ)见解析;（III）见解析. 试题分析: (1)利用所有矩形的面积和为1,求出 ;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的人数,填表,计算的值,与临界值表中 比较,得出结论; (3)求出晋级失败的概率,4人中晋级失败的人数为,则服从二项分布, 再求出分布列和数学期望. 试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知 ，故. (Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为， 故晋级成功的人数为（人）， 故填表如下   晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设“晋级成功”与性别无关， 根据