广东省清远市小三江中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若定义在[﹣2017，2017]上的函数f（x）满足：对任意x1∈[﹣2017，2017]，x2∈[﹣2017，2017]都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时有f（x）＞2016，f（x）的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=（ ）
A．2016 B．2017 C．4034 D．4032
参考答案：
D
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】计算f（0）=2016，构造函数g（x）=f（x）﹣2016，判断g（x）的奇偶性得出结论．
【解答】解：令x1=x2=0得f（0）=2f（0）﹣2016，∴f（0）=2016，
令x1=﹣x2得f（0）=f（﹣x2）+f（x2）﹣2016=2016，
∴f（﹣x2）+f（x2）=4032，
令g（x）=f（x）﹣2016，则gmax（x）=M﹣2016，gmin（x）=N﹣2016，
∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）+f（x）﹣4032=0，
∴g（x）是奇函数，
∴gmax（x）+gmin（x）=0，即M﹣2016+N﹣2016=0，
∴M+N=4032．
故选D．
2. 已知全集,集合,,则集合（ ）
A． B． C． D．。
参考答案：
C
3. 函数f（x）=sinx+cosx的一条对称轴是（ ）
A．
x=
B．
x=
C．
x=
D．
x=
参考答案：
A
考点：
两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．3804980
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
化简函数f（x）的解析式为f（x）=sin（x+），令x+=kπ+，k∈z，求出x即为函数的对称轴．
解答：
解：根据和差公式可得f（x）=sinx+cosx=sin（x+）
令x+=kπ+，k∈z，可得 x=kπ+，k∈z．
故选：A．
点评：
本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的对称性，化简函数f（x）的解析式为sin（x+），是解题的关键，属于中档题．
4. 设定义在 上的函数若关于的方程，
有3个不等的实数根，则
A． B． C．3 D ．
参考答案：
C
略
5. 已知，则_______.
A． B． C． D．
参考答案：
B
6. 已知直线与直线互相垂直，则
（A） （B）
（C） （D）
参考答案：
C
【知识点】两条直线的位置关系
【试题解析】因为直线与直线互相垂直，
所以，
故答案为：C
7. 已知集合，则满足条件的实数组成的集合是
（A）{1，4} （B）{1，3} （C）{1，3，4} （D）{0，1，3，4}
参考答案：
D
8. 如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
参考答案：
A
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=log41=0，1＜b=log23＜c=log2π，
∴c＞b＞a．
故选：A．
9. 实数x，y满足，使z=ax+y取得最大值的最优解有两个，则z=ax+y+1的最小值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣1
参考答案：
A
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有2个，利用数形结合确定a的取值即可得到结论．
【解答】解：不等式组等价为或
不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=﹣ax+z，
若a=0时，直线y=﹣ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若﹣a＞0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z经过点A，D时满足条件，此时﹣a=1，解得a=﹣1．
若﹣a＜0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时z=ax+y取得最大值的最优解有1个或者无数个，不满足条件．
综上满足条件的a=﹣1，即z=﹣x+y+1，
则y=x+z﹣1，当直线y=x+z﹣1经过B（1，0），C（0，﹣1）时，目标函数取得最小值，
此时z=﹣1+0+1=0，
故选：A
10. 已知双曲线 ，过双曲线的一个焦点作实轴的垂线交双曲线
于A、B两点，若 (O为坐标原点），则双曲线的离心率e等于
A. 2 B. C． D.
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数x，y满足，那么z=y﹣x的最大值是 ．
参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至A（﹣3，0）时纵截距最大，z最大．
【解答】解：画出的可行域如图：
将z=y﹣x变形为y=x+z作直线y=x将其平移至A（﹣3，0）时，直线的纵截距最大，最大为：3．
故答案为：3．
【点评】利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．
12. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/.
参考答案：
5，3.6
略
13. 已知，均为锐角，，，则_____．
参考答案：
【分析】
先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.
【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.
14. 过椭圆的左顶点作斜率为的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为。若，则该椭圆的离心率为 。
参考答案：
答案：
15. 幂函数的图象经过点（4，），则____________．
参考答案：
２
略
16. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______.
参考答案：
324
分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C32A33C41＋C32A33C41＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A33C31＋C32C31A33C31＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)．
17. 在△ABC中，若，则∠C=___________.
参考答案：
【分析】
由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C的大小.
【详解】由题意结合正弦定理可得：，
由于，故，则.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在极坐标系中，已知曲线C1：和曲线C2：，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值.
参考答案：
(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).
【分析】
（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.
（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.
【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，
整理可得直角坐标方程为，
的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.
（2）设曲线与轴异于原点的交点为，
∵，∴过点，
设直线的参数方程为（为参数），
代入可得，解得或，
可知，
代入可得，解得，
可知，
所以，
当且仅当时取等号，
所以线段长度的最小值为.
【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.
19. (本小题12分)在锐角DABC中,三个内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,设=((?A),1),=(2(+1),?1),a=2,且·=?.
(1)若b=2,求DABC的面积；
(2)求b+c的最大值.
参考答案：
解:·=2(?A)(+A)?1=2(?A)(?A)?1=(?2A)?1=2A?1=?,
\2A=?, ………3分
∵0
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