江西省景德镇市乐平涌山中学高一数学理联考试题含解析

江西省景德镇市乐平涌山中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线=1的斜率是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： A 【考点】直线的斜率． 【分析】把直线的方程化为斜截式，从而求得它的斜率． 【解答】解：直线=1 即 y=x﹣2，故直线的斜率等于， 故选 A． 2. 已知，直线与直线互相垂直，则的最小值等于(　　)． A．1                  B．2                 C．               D． 参考答案： B 略 3. 已知集合，那么                           （     ）     A．            B．             C．           D． 参考答案： A 4. 要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位  D．向右平移个单位   参考答案： B 略 5. 设函数f（x）=如果f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 参考答案： C 【考点】分段函数的应用． 【分析】根据分段函数的表达式，进行求解即可． 【解答】解：若x0＞0，由f（x0）＞1得=＞1得x0＞1， 若x0≤0，由f（x0）＞1得﹣1＞1得＞2， 即﹣x0＞1，则x0＜﹣1， 综上x0＞1或x0＜﹣1， 故选：C 6. 设x∈R，则“x＜﹣2”是“x2+x≥0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断充分必要性即可． 【解答】解：由“x2+x≥0”，解得：x＞0或x＜﹣1， 故x＜﹣2”是“x＞0或x＜﹣1“的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题． 7. 函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2） 参考答案： C 【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间． 【解答】解：∵函数f（x）=3x+2x﹣3在R上单调递增， ∴f（0）=1+0﹣3=﹣2＜0，f（1）=3+2﹣3=2＞0， ∴f（0）f（1）＜0． 根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（0，1）， 故选：C． 8. 已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（ ） A.(－1,1] B.[－1,1] C. [－1,1) D.(－1,1) 参考答案： A 9. 已知函数为奇函数，时为增函数且，则（   ） A．       B． C．        D． 参考答案： A 由于函数为奇函数，时为增函数且， 可得函数在上单调递增，且 ， 故函数的单调性示意图如图所示： 由函数的图象可得 ，或 ， 解得 或 ， 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（   ） A. 2060 B. 2038 C. 4084 D. 4108 参考答案： C 【分析】 利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第行，然后令得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可. 【详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第行， 例如，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行， 令，就可以求出该行的系数之和， 第1行为，第2行为，第3行为，以此类推， 即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列. 则杨辉三角形的前n项和为 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，去除两端“1”可得，则此数列前55项和为，所以第56项为第13行去除1的第一个数,所以该数列前56项和为，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列求和，杨辉三角形的的系数与二项式系数的关系以及等比、等差数列的求和公式，属于难题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，若BF=，则AC与平面α所成角度数为          参考答案： ° 12. 从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____． 参考答案： 【分析】 先求出别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数，然后再求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件的个.数，运用古典概型公式求出概率. 【详解】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为： ，共个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了有放回抽样，属于基础题. 13. 设，其中，则的值为________. 参考答案： 【分析】 由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值。 【详解】， 所以，因为，故。 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用。 14. 设函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [0，1] 【考点】函数的值域． 【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可． 【解答】解：当x≥2时，f（x）=x+a2≥2+a2， 当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x+a+1=﹣（x﹣1）2+a+2≤a+2， ∵f（x）=的值域为R， ∴2+a2≤a+2， 即a2﹣a≤0， 解得0≤a≤1， 故答案为：[0，1] 【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函数值域的关系建立不等式关系是解决本题的关键． 15. 函数f（x）=（x﹣1）2﹣1的值域为　     　． 参考答案： [﹣1，+∞） 【考点】函数的值域． 【分析】根据二次函数的图象及性质求解即可． 【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）2﹣1， 开口向上，对称轴x=1， 当x=1时，函数f（x）取得最小值为﹣1， 故函数f（x）=（x﹣1）2﹣1的值域为：[﹣1，+∞）， 故答案为：[﹣1，+∞）． 16. 已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B= ． 参考答案： [﹣4，14] 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合． 【分析】求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由A中y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，得到A=[﹣4，+∞）； 由B中y=﹣x2+2x+13=﹣（x﹣1）2+14≤14，得到B=（﹣∞，14]， 则A∩B=[﹣4，14]， 故答案为：[﹣4，14] 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 17. 如图所示，是的边上的中点，设向量， 则把向量用表示，其结果为                  . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：． ⑴若圆E的半径为2，圆E与x轴相切且与圆C外切，求圆E的标准方程； ⑵若过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点，且，求直线l的方程． 参考答案： (1) 或 (2) 【分析】 （1）设出圆的标准方程为，由圆与轴相切，可得，由圆与圆外切，可得两圆心距等于半径之和，由此解出，，的值，得到圆的标准方程； （2）法一：设出点坐标为，根据，可得到点坐标，把、两点坐标代入圆方程，解出点坐标，即可得到直线的方程； 法二：设的中点为，连结，，设出直线的方程，由题求出的长，利用点到直线的距离即可得求出值，从而得到直线的方程 【详解】⑴设圆的标准方程为，故圆心坐标为，半径； 因为圆的半径为2，与轴相切，所以① 因为圆与圆外切 所以，即②  由①②解得  故圆的标准方程为或 ⑵方法一;设 因为，所以为的中点，从而 因为，都在圆上 所以 解得或 故直线的方程为： 方法二：设的中点为，连结， 设， 因为，所以 在中，③ 在中，④ 由③④解得 由题可知直线的斜率一定存在，设直线的方程为 则，解得 故直线的方程为 【点睛】本题考查圆的标准方程与直线方程，解题关键是设出方程，找出关系式，属于中档题。 19. 定义：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足的x的值；若不是，请说明理由； 参考答案： （Ⅲ）当时，可化为 设，则 在有解即可保证为“局部奇函数”． 令，     1° 当，在有解，   由，即，解得     2° 当，即在有解等价于                                                                    解得        综上，所求实数m的取值范围为 ---------13分       略 20. 已知函数． （Ⅰ）若，求函数的定义域和值域； （Ⅱ）若函数的定义域为R，值域为[0,2]，求实数m，n的值． 参考答案： （Ⅰ）若，则，由，得到 ，得到，故定义域为． ， 当时，， 当且时，当，而， 所以，则， 所以的值域为． (法二): 定义域为．令，则 当时，符合． 当时，上述方程要有解且，则，得到或． 所以，则值域为． （Ⅱ）由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而 ，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以． 21. （12分）已知， ()． （1）若，求证：； （2）设，若，求的值． 参考答案： （1）∵  ∴  即， 又∵， ∴  ∴   ∴．                          （2）∵ ∴  即 两式平方相加得：   ∴  ∴ ∵    ∴．                       22. 在如图所示的直角坐标系xOy中，点A，B是单位圆上的点，且A（1，0），∠AOB=．现有一动点C在单位圆的劣弧上运动，设∠AOC=α． （1）若tanα=，求?的值； （2）若=x+y，其中x，y∈R，求x+y的最大值． 参考答案： 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】（1）由tanα=，求出cosα、sinα的值，计算?的值即可； （2）根据=x+y，其中x，y∈R，列出方程，求出x、y的表达式，再求x+y的最大值即可． 【解答】解：