2022年江西省吉安市南岭中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧面积等于（ ）
A．12π cm2 B．15π cm2 C．24π cm2 D．30π cm2
参考答案：
B
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是圆锥，且底面半径为r=3，母线长l=5，代入圆锥侧面积公式得答案．
【解答】解：由三视图可知，原几何体是圆锥，且底面半径为r=3，母线长l=5，如图：
则几何体的侧面积为πrl=15π（cm2）．
故选：B．
2. （4分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）
A． x+y﹣2=0 B． x+y﹣4=0 C． x﹣y+4=0 D． x﹣y+2=0
参考答案：
D
考点： 圆的切线方程．
专题： 计算题．
分析： 本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．
解答： 解：法一：
x2+y2﹣4x=0
y=kx﹣k+?x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．
该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．
∴y﹣=（x﹣1），
即x﹣y+2=0．
法二：
∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．
又∵圆心为（2，0），∴?k=﹣1．
解得k=，
∴切线方程为x﹣y+2=0．
故选D
点评： 求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．
3. 下列向量是单位向量的是
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
4. 已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=3x+x3﹣5，则函数y=f（x）的零点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
5. sin15°sin75°=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】GS：二倍角的正弦．
【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵，
故选：A．
6. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
参考答案：
A
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=，结合范围0＜C＜π，可求C的值．由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．
【解答】由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，
即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，
因为sinB≠0，所以cosC=，因为0＜C＜π，所以C=．由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0…①，
又…②，
将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得 ab=或ab=﹣1（舍去），
所以S△ABC=absinC=，
故选：A．
7. （5分）已知=﹣5，那么tanα的值为（）
A． ﹣2 B． 2 C． D． ﹣
参考答案：
D
考点： 同角三角函数基本关系的运用．
分析： 已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．
解答： 由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，
得=﹣5，
∴tanα=﹣．
故选D．
点评： 同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．
8. 已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为( )
A．305 B．315 C．325 D．335
参考答案：
D
因为f(1)＝，f(2)＝＋，
f(3)＝＋＋，…，f(n)＝＋f(n－1)，
所以{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列，
所以S20＝20×＋×＝335.
9. 若集合A={x|log2x≤﹣2}，则?RA=（ ）
A． B． C． D．[，+∞）
参考答案：
B
【考点】补集及其运算．
【分析】先由对数函数的性质求出集合A，再由补集的定义求出?RA．
【解答】解：∵集合A={x|log2x≤﹣2}={x|}={x|0＜x}，
∴?RA={x|x≤0或x＞}=（﹣∞，0]∪（，+∞）．
故选：B．
10. 一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种.
A.105 B.95 C.85 D.75
参考答案：
A
根据题意，分4种情况讨论：
①，小青蛙向左跳一次2个单位，向右跳4次，每次1个单位，有C51=5种情况，
②，小青蛙向左跳2次，每次2个单位，向右跳3次，每次2个单位，有C52=10种情况，
③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次，2次2个单位，1次1个单位，
有C52A33=60种情况，
④，小青蛙向左跳2次，每次1个单位，向右跳3次，1次2个单位，2次1个单位，有C52C32=30种情况，
则一共有5+10+60+30=105种情况，即有105种不同的跳动方式．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则_______.
参考答案：
3
略
12. （3分）函数y=x﹣2的单调增区间是 ．
参考答案：
（﹣∞，0）
考点： 函数的单调性及单调区间．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．
解答： 函数y=x﹣2为偶函数，在（0，+∞）内为减函数，
则在（﹣∞，0）内为增函数，
故函数的增区间为（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）
点评： 本题主要考查函数单调区间的求解，根据幂函数的性质是解决本题的关键．
13. 函数的单调递减区间是____________________。
参考答案：
解析： 画出图象
14. 已知数列{an}的前n项和，那么它的通项公式为an= ▲ ．
参考答案：
2n；
15. 已知实数满足，，则的取值范围是 ．
参考答案：
16. 已知，是方程的两个根，则____________.
参考答案：
32
【分析】
由题得的值，再把韦达定理代入得解.
【详解】由题得.
所以.
故答案为：32
【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
17. 已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则 ．
参考答案：
2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，
（1）求证：f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
参考答案：
（1）在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1
0，x1x2>0，
∴f（x1）–f（x2）<0，即f（x1）0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f (x1)
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