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安徽省滁州市大佘郢乡中学2022年高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若不等式的解集是,则不等式的解集是( ).
A. B. C. [-2,3] D. [-3,2]
参考答案:
D
【分析】
先由题意求出,再代入不等式,求解,即可得出结果.
【详解】因为不等式的解集是,
所以,解得,
所以不等式可化为,即,
解得.
故选D
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法,熟记三个二次之间的关系即可,属于基础题型.
2. 若0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】方程a|x|=|logax|的实根个数可化为函数y=a|x|与y=|logax|的交点的个数,作出图象即可.
【解答】解:方程a|x|=|logax|的实根个数可化为
函数y=a|x|与y=|logax|的交点的个数,
作出其图象如下:
故选B.
3. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=﹣对称
B.函数f(x)在﹣,0]上单调递增
C.f(x)的图象关于点(﹣,0)对称
D.将函数y=2sin(2x﹣)的图象向左平移个单位得到f(x)的图象
参考答案:
B
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】根据图象求出A,ω 和φ,即可求函数f(x)的解析式;依次对各选项进行判断即可.
【解答】解:由题设图象知,周期T=4()=π,
∴ω==2.
∵点(,0)在函数图象上,
∴Asin(2×+φ)=0,即sin(+φ)=0.
又∵<φ<,
∴<+φ<,从而+φ=π,即φ=.
又点(,2)在函数图象上,
∴Asin=2,∴A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).
对称轴方程为:2x+=,(k∈Z),经考查A不对.
由可知,函数f(x)在﹣,0]上单调递增,故B对.
当x=时,f(﹣)=﹣2,故图象不是关于点(﹣,0)对称,故C不对.
函数y=2sin(2x﹣)的图象向左平移个单位得到y′=2sin(2x+﹣)=2sin(2x+),没有得到f(x)的图象,故D不对.
故选B.
4. 设集合,则所有的交集为……( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
5. 设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x|x≥3或x<1}都是U的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|﹣2≤x<1} B.{x|﹣2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}
参考答案:
A
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【分析】用集合M,N表示出阴影部分的集合;通过解二次不等式求出集合M;利用交集、补集的定义求出中阴影部分所表示的集合.
【解答】解:图中阴影部分表示N∩(CUM),
∵M={|x2>4}={x|x>2或x<﹣2},
∴CUM={x|﹣2≤x≤2},
∴N∩(CUM)={﹣2≤x<1}.
故选A
6. 已知,那么下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
试题分析:由于每个式子中都有,故先比较的大小.因为,所以.
又.
考点:不等关系.
7. 若,则( )
A.1 B.3 C. D.2
参考答案:
D
8. 已知O、A、B三点不共线,P为该平面内一点,且,则( )
A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上
参考答案:
D
,推得:,所以点P在射线AB上,故选D.
9. 若函数在上是单调函数,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. 已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期,利用对称轴以及φ的范围,确定φ的值即可.
【解答】解:因为直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,
所以T==2π.所以ω=1,并且sin(+φ)与sin(+φ)分别是最大值与最小值,0<φ<π,
所以φ=.
故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=ax-1+3的图象一定过定点P,则P点的坐标是___________.
参考答案:
(1,4)
12. 已知,它们的夹角为,那么
参考答案:
13. 已知函数f(x)=,则f(-10)的值是( ).
A.0 B.-1 C. 1 D.-2
参考答案:
C
14. 已知样本9,10,11,,的平均数是10,标准差是,则= .
参考答案:
略
15. 下列结论中:
① 当且时,;
② 当时,的最大值为;
③ ;
④ 不等式的解集为
正确的序号有 。
参考答案:
②④
16. 已知,则f(x)= ;
参考答案:
因为,所以,
又因为,所以.
所以.
17. (5分)在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=tPC,PA∥平面MQB,则实数t= .
参考答案:
考点: 直线与平面平行的判定.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 连AC交BQ于N,交BD于O,说明PA∥平面MQB,利用PA∥MN,根据三角形相似,即可得到结论;
解答: 解:连AC交BQ于N,交BD于O,连接MN,如图
则O为BD的中点,
又∵BQ为△ABD边AD上中线,∴N为正三角形ABD的中心,
令菱形ABCD的边长为a,则AN=a,AC=a.
∵PA∥平面MQB,PA?平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴PM: PC=AN:AC
即PM=PC,t=;
故答案为:
点评: 本题考查了线面平行的性质定理的运用,关键是将线面平行转化为线线平行,利用平行线分线段成比例解答.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知两个定点,动点满足.设动点P的轨迹为曲线E,直线.
(1)求曲线E的轨迹方程;
(2)若l与曲线E交于不同的C,D两点,且(O为坐标原点),求直线l的斜率;
(3)若,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究:直线MN是否过定点.
参考答案:
(1);(2);(3).
【分析】
(1)设点P坐标为(x,y),运用两点的距离公式,化简整理,即可得到所求轨迹的方程;(2)由,则点到边的距离为,由点到线的距离公式得直线的斜率;(3)由题意可知:O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上,设,则圆的圆心为运用直径式圆的方程,得直线的方程为,结合直线系方程,即可得到所求定点.
【详解】(1)设点的坐标为
由可得,,
整理可得
所以曲线的轨迹方程为.
(2)依题意,,且,则点到边的距离为
即点到直线的距离,解得
所以直线的斜率为.
(3)依题意,,则都在以为直径的圆上
是直线上的动点,设
则圆的圆心为,且经过坐标原点
即圆的方程为 ,
又因为在曲线上
由,可得
即直线的方程为
由且可得,解得
所以直线是过定点.
【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法,注意运用两点的距离公式,考查直线和圆相交的弦长公式,考查直线恒过定点的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
19. 如图,直三棱柱ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 =,
D 是A1B1 中点.
(1)求证C1D ⊥平面A1B ;
(2)当点F 在BB1 上什么位置时,会使得AB1 ⊥平面
C1DF ?并证明你的结论.
参考答案:
(1)证明:如图,∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱,
∴ A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°.
又 D 是A1B1 的中点,∴ C1D ⊥A1B1 .
∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ,C1D 平面A1B1C1 ,
∴ AA1 ⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面AA1B1B .
(2)解:作DE ⊥AB1 交AB1 于E ,延长DE 交BB1 于F ,连结C1F ,则AB1 ⊥平面C1DF ,点F 即为所求.
事实上,∵ C1D ⊥平面AA1BB ,AB1 平面AA1B1B ,
∴ C1D ⊥AB1 .又AB1 ⊥DF ,DF C1D =D ,
∴ AB1 ⊥平面C1DF .
略
20. (本小题满分14分)已知数列满足,且.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列,并求通项;
(Ⅱ)求的值;
参考答案:
解:(Ⅰ)∵,
数列是首项为,公差为的等差数列,
故,
因为,
所以数列的通项公式为,
(Ⅱ)∵,
∴, ①
, ②
由①-②得
∴,
略
21. 已知函数(,且).
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)解关于x的不等式.
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)奇函数. (Ⅲ)见解析
【分析】
(Ⅰ)根据对数的真数为正可求出函数定义域(Ⅱ)由定义域的对称性及的关系可判断函数奇偶性(Ⅲ)分,两种情况讨论,利用单调性求不等式的解.
【详解】(Ⅰ)要是函数有意义,则
解得,
故函数的定义域为.
(Ⅱ),
所以函数为奇函数.
(Ⅲ),
所以,不等式可化为.
当时,,解得;
当时,,解得或.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域,奇偶性,对数函数的单调性,分类讨论,属于中档题.
22. 已知函数f(x)=-3x2+a(6-a)+c.
(1)当c=19时,解不等式f(1)>0;
(2)若关于x的不等式数f(x)>0的解集为(-1,4),求a,c的值.
参考答案:
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