湖北省宜昌市枝江第二高级中学高三数学理月考试卷含解析

湖北省宜昌市枝江第二高级中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若曲线在点（0,处的切线方程是，则 A．     B.       C.      D. 参考答案： A 2. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A．    B．    C． D． 参考答案： D 3. 已知抛物线C：的焦点为F，直线过F与C交于A、B两点，与抛物线的准线l交于点P，若，则（   ） A．2                   B．3                C.4               D．6 参考答案： B 如图，由抛物线定义得,由已知 , 所以,故 , , ， 又， ，故选B.   4. 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是 A.   B.    C.     D. 参考答案： D 受三视图的启发，据三视图，想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为：在一个水平横放的底面半径为2，高为4的圆柱中，在其前方、上侧的右侧挖去，余下的部分. 所以该几何体的体积为.选Ｄ. 5. 在一次实验中，测得的四组值为，则与之间的回归直线方程为                                                   A．          B．       C．      D． 参考答案： 答案：Ａ 6. 已知全集，，，则集合等于（    ） A．      B． C．               D． 参考答案： B 7. 在直角坐标系中, 设是曲线上任意一点, 是曲线在点处的切线, 且交坐标轴于两点, 则以下结论正确的是（   ） A．的面积为定值                         B．的面积有最小值为 C．的面积有最大值为                     D．的面积的取值范围是 参考答案： A 试题分析：设，则,因此的面积为，所以选A. 考点：导数几何意义 【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 8. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到圆面的距离是4cm，则该球的体积是（  ）  A．    B．    C．    D． 参考答案： C 略 9. 已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数t，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（   ） A．(－2,－1)                               B．(－1,0) C．(－4,－2)                               D．(－4,－1)∪(－1,0) 参考答案： C 由题意可得示意图,所以 ,选C.   10. 函数f（x）=|x﹣3|﹣ln（x+1）在定义域内零点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数． 【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）； 由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣3|﹣ln（x+1）=0的根． 令y1=|x﹣3|，y2=ln（x+1）x（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若数列的通项公式，记，试推测 _________              参考答案： 12. 已知，则=_____. 参考答案： 略 13. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，若点A、B、C、D都在一个以O为球心的球面上，则球O的体积为      ▲      。 参考答案： 略 14. 已知则与的夹角为，则　　　． 参考答案： 略 15. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为     km． 参考答案： 30 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】计算题． 【分析】先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的长度，求得BM． 【解答】解：如图，依题意有 AB=15×4=60， ∠MAB=30°，∠AMB=45°， 在△AMB中， 由正弦定理得=， 解得BM=30（km）， 故答案为30． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．常需利用正弦定理或余弦定理，根据已知的边或角求得问题的答案． 16. 已知的最大值为           参考答案： 因为   17. 设的三个内角的对边分别为若则的最大值为            参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，正三棱柱中，点是的中点. （Ⅰ）求证: 平面； （Ⅱ）求证:平面. 参考答案： (本小题满分14分) 证:（Ⅰ）因为是正三角形,而是的中点，所以………… 3分 又BC是两个相互垂直的平面与面的交线,且, 所以………………………………………… 7分 （Ⅱ）连接,设,则E为的中点,连接,由是的中点, 得………11分   又,且,所以平面……14分 略 19. (本小题满分15分)已知数列中各项均为正数，是数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式  （2）对，试比较与的大小. 参考答案： 解：，当时，，又中各项均为正数解得，………………………2分 当时， ………………………4分 ，即 即， ，中各项均为正数， 即（），，（），………………………6分 又时，，数列的通项公式是，（）. …………8分 (2) 对，是数列的前项和， ， ………………10分 …12分， …………14分   20. （本小题满分12分） “跑跑龟”是一款益智游戏，它灵活多变老少皆宜，深受大家喜爱。有位小朋友模仿“跑跑龟”也自己动手设计了一个简易游戏来自娱自乐，并且制定规则如下：如图为游戏棋盘由起点到终点共7步，并以一副扑克牌中的4张A、2张2、1张3分别代表前进1步、2步、3步，如果在终点前一步时抽取到2或3，则只需前进一步结束游戏，如果在终点前两步时抽取到3，则只需前进两步结束游戏。游戏开始时不放回的依次抽取一张决定前进的步数 （1）求恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率； （2）若游戏结束抽取的卡片张数记为，求的分布列和期望． 起点 终点   参考答案： 解（1）设抽取4张卡片即结束游戏为事件A，取4张步数要大于等于7，卡片可以是2个A、1个2、1个3或1个A、2个2、1个3， 所以                          ………5分 （2）由题意                                   ………6分                                 ………10分 3 4 5 6                                                   ………12分 21. （本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望． 参考答案： （I）利用中值估算抽样学生的平均分： 45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72.           ……………（3分） 众数的估计值为75分    ……………（5分） 所以，估计这次考试的平均分是72分．                       ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分） （II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是， 有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人）， 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是， 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率            ……………（8分） 随机变量的可能取值为0、1、2、3，则有． ∴ ∴变量的分布列为： 0 1 2 3 P                                                       …………（10分）    …………（12分）                               解法二. 随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布, 即………（10分）        …………（12分） 22. 已知椭圆C：的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2 （1）求椭圆C的方程； （2）设圆T：（x﹣t）2+y2=，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在x轴上移动且t∈（1，3）时，求EF的斜率的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF1F2的周长是得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求； （2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到 ，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，另一两点求斜率公式得到kEF=．然后由函数单调性求得EF的斜率的范围． 【解答】解：（1）由，即，可知a=4b，， ∵△PF1F2的周长是， ∴， ∴a=4，b=1， 所求椭圆方程为； （2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1， 由直线y=kx+1与T相切可知， 即（9t2﹣4）k2+18tk+5=0， ∴， 由，得． ∴， 同理， 则=． 当1＜t＜3时，为增函数，故EF的斜率的范围为． 【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查了直线与圆相切的条件，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．