湖南省永州市菱角塘镇良湾中学高二数学理测试题含解析

湖南省永州市菱角塘镇良湾中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】直线与圆相交的性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】直线化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出弦长． 【解答】解：直线（t为参数）的普通方程为x﹣2y+3=0， 圆心到直线的距离d=， ∴直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长等于2=． 故选：A． 【点评】本题考查直线的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础． 2. 下列叙述中，正确的个数是 ①命题p：“”的否定形式为：“”； ②O是△ABC所在平面上一点，若，则O是△ABC的垂心； ③“M＞N”是“”的充分不必要条件； ④命题“若，则”的逆否命题为“若，则”． A、1        B、2         C、3        D、4 参考答案： C 略 3. 若不等式在上有解，则的取值范围是   A.       B.    C.      D. 参考答案： D 4. 已知实数x，y满足约束条件，目标函数z=x+y，则当z=3时，x2+y2的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 当目标函数z=x+y，则当z=3时，即x+y=3时，作出此时的直线， 则x2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方， 当直线x+y=3与圆x2+y2=r2相切时，距离最小， 即原点到直线x+y=3的距离d=，即最小值为d2=， 当直线x+y=3与圆x2+y2=r2相交与点B或C时，距离最大， 由，解得x=1，y=2，即B（1，2）， 由，解得x=2，y=1，即C（2，1） 此时r2=x2+y2=22+12=5， 故选：C． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 5. 已知圆的方程是，则当圆的半径最小时，圆心的坐标是（     ） A.         B.          C.              D. 参考答案： B 6. 已知函数的定义域是[1,2]，求函数的定义域（    ） A. (2,3) B. [2,3] C. [0,1] D. (2,3] 参考答案： B 【分析】 先求出的范围,即可求得的定义域 【详解】由题,,设,,的定义域为 故选：B 【点睛】本题考查抽象函数的定义域问题,属于基础题 7. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则 A      B       C     D   参考答案： B 8. 已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，则p的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】求得圆心及半径，由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切，丨4+丨=5，解得：p=2． 【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣9=0转化为（x﹣4）2+y2=25，圆心（4，0），半径为5， 抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣， ∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切， ∴丨4+丨=5，解得：p=2， ∴p的值为2， 故选A． 9. 已知，是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，若的周长为8，则椭圆方程为（   ） A．                               B． C．                               D． 参考答案： A 因为 的周长为8，所以是椭圆的两焦点，椭圆方程为，故选A.   10. 不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是                           A（0，0）     B（1，1）     C（0，2）     D （2，0） 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 圆心在直线上，并且与轴交于点和的圆的方程为_____________． 参考答案： 略 12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是__________． 参考答案： 略 13. 已知向量，若，则等于                。 参考答案： 14. 如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB上一点，M是棱D1C1上一点，则三棱锥M-DEC的体积是    ▲     参考答案： 15. 已知两个正数，的等差中项为，等比中项为，且，则椭圆的离心率为        . 参考答案： 16. 　设p：|4x﹣3|≤1，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： 0≤a≤ 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题． 分析： 分别求出关于p，q的解集，根据p?q，得到不等式组，解出即可． 解答： 解：∵p：{x|≤x≤1}，q：{x|a≤x≤a+1}， 若p是q的充分不必要条件，则p?q， ∴，解得：0≤a≤， 故答案为：0≤a≤． 点评： 本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题． 17. 设矩阵的逆矩阵为，则=  ▲  ． 参考答案： 0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图（要求列表描点） 参考答案： （1）解、先列表，后描点并画图 y 0 1 0 -1 0 （2） 略 19. (10分) 已知等差数列满足：. （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和. 参考答案： 20. 已知动圆P与圆F1：（x+1）2+y2=1外切，与圆F2：（x﹣1）2+y2=9内切．动圆P的圆心轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为． （1）求E的方程； （2）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标． 参考答案： 【考点】轨迹方程． 【分析】（1）确定PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，可得曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2﹣c2=3，即可求E的方程； （2）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线MA，MB的斜率之积为，即可证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标 【解答】解　（1）设动圆P的半径为r，由已知|PF1|=r+1，|PF2|=3﹣r， 则有|PF1|+|PF2|=4，化简得曲线E的方程为=1． （2）由曲线E的方程得，上顶点M（0，），记A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1，故y1=﹣y2， 因此，kMA?kMB==﹣=， 与已知不符，因此直线AB的斜率存在． 设直线AB：y=kx+m，代入椭圆E的方程=1，得 （3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，① 因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根x1，x2， 所以x1+x2=﹣，x1?x2=， 又kAM=，kMB= 由kAM?kBM=得4（kx1+m﹣）（kx2+m﹣）=x1x2， 即（4k2﹣1）x1x2+4k（m﹣）（x1+x2）+4（m﹣）2=0， 所以4（m2﹣3）（4k2﹣1）+4k（m﹣）（﹣8km）+4（m﹣）2?（3+4k2）=0， 化简得m2﹣3+6=0，故m=或m=2． 结合x1x2≠0知m=2，即直线AB恒过定点N（0，2）． 21. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，右焦点到直线x+y+1=0的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A，B的点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程. 参考答案： (1)由        得   22. 如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形， 面,． (1)求证：平； (2))若，求四棱锥的体积．   参考答案： 证明：（1）由是菱形 ………………………………3分 由是矩形 ………………………………6分 （2）连接， 由是菱形， 由面, ，……………………………………………10分 则为四棱锥的高 由是菱形，， 则为等边三角形， 由；则 ，………………………………………14分   略