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湖南省永州市菱角塘镇良湾中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线(t为参数)被圆x2+y2=4截得的弦长等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】直线与圆相交的性质.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】直线化为普通方程,求出圆心到直线的距离,利用勾股定理求出弦长.
【解答】解:直线(t为参数)的普通方程为x﹣2y+3=0,
圆心到直线的距离d=,
∴直线(t为参数)被圆x2+y2=4截得的弦长等于2=.
故选:A.
【点评】本题考查直线的参数方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础.
2. 下列叙述中,正确的个数是
①命题p:“”的否定形式为:“”;
②O是△ABC所在平面上一点,若,则O是△ABC的垂心;
③“M>N”是“”的充分不必要条件;
④命题“若,则”的逆否命题为“若,则”.
A、1 B、2 C、3 D、4
参考答案:
C
略
3. 若不等式在上有解,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 已知实数x,y满足约束条件,目标函数z=x+y,则当z=3时,x2+y2的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可得到结论
【解答】解:作出不等式对应的平面区域,
当目标函数z=x+y,则当z=3时,即x+y=3时,作出此时的直线,
则x2+y2的几何意义为动点P(x,y)到原点的距离的平方,
当直线x+y=3与圆x2+y2=r2相切时,距离最小,
即原点到直线x+y=3的距离d=,即最小值为d2=,
当直线x+y=3与圆x2+y2=r2相交与点B或C时,距离最大,
由,解得x=1,y=2,即B(1,2),
由,解得x=2,y=1,即C(2,1)
此时r2=x2+y2=22+12=5,
故选:C.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
5. 已知圆的方程是,则当圆的半径最小时,圆心的坐标是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 已知函数的定义域是[1,2],求函数的定义域( )
A. (2,3) B. [2,3] C. [0,1] D. (2,3]
参考答案:
B
【分析】
先求出的范围,即可求得的定义域
【详解】由题,,设,,的定义域为
故选:B
【点睛】本题考查抽象函数的定义域问题,属于基础题
7. 某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则
A B C D
参考答案:
B
8. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切,则p的值为( )
A.2 B.1 C. D.
参考答案:
A
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】求得圆心及半径,由题意可知:抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切,丨4+丨=5,解得:p=2.
【解答】解:圆x2+y2﹣8x﹣9=0转化为(x﹣4)2+y2=25,圆心(4,0),半径为5,
抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=﹣,
∵抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2﹣8x﹣9=0相切,
∴丨4+丨=5,解得:p=2,
∴p的值为2,
故选A.
9. 已知,是椭圆的两个焦点,过F1的直线交椭圆于M,N两点,若的周长为8,则椭圆方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
因为 的周长为8,所以是椭圆的两焦点,椭圆方程为,故选A.
10. 不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是
A(0,0) B(1,1) C(0,2) D (2,0)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆心在直线上,并且与轴交于点和的圆的方程为_____________.
参考答案:
略
12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是__________.
参考答案:
略
13. 已知向量,若,则等于 。
参考答案:
14. 如图,在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AB上一点,M是棱D1C1上一点,则三棱锥M-DEC的体积是 ▲
参考答案:
15. 已知两个正数,的等差中项为,等比中项为,且,则椭圆的离心率为 .
参考答案:
16. 设p:|4x﹣3|≤1,q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
0≤a≤
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 计算题.
分析: 分别求出关于p,q的解集,根据p?q,得到不等式组,解出即可.
解答: 解:∵p:{x|≤x≤1},q:{x|a≤x≤a+1},
若p是q的充分不必要条件,则p?q,
∴,解得:0≤a≤,
故答案为:0≤a≤.
点评: 本题考查了充分必要条件,考查了集合之间的关系,是一道基础题.
17. 设矩阵的逆矩阵为,则= ▲ .
参考答案:
0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图(要求列表描点)
参考答案:
(1)解、先列表,后描点并画图
y
0
1
0
-1
0
(2)
略
19. (10分) 已知等差数列满足:.
(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.
参考答案:
20. 已知动圆P与圆F1:(x+1)2+y2=1外切,与圆F2:(x﹣1)2+y2=9内切.动圆P的圆心轨迹为曲线E,且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为.
(1)求E的方程;
(2)证明直线AB恒过定点,并求定点的坐标.
参考答案:
【考点】轨迹方程.
【分析】(1)确定PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,可得曲线E是长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆,且b2=a2﹣c2=3,即可求E的方程;
(2)分类讨论,设直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合直线MA,MB的斜率之积为,即可证明直线AB恒过定点,并求定点的坐标
【解答】解 (1)设动圆P的半径为r,由已知|PF1|=r+1,|PF2|=3﹣r,
则有|PF1|+|PF2|=4,化简得曲线E的方程为=1.
(2)由曲线E的方程得,上顶点M(0,),记A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,x1≠0,x2≠0.若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=x1,故y1=﹣y2,
因此,kMA?kMB==﹣=,
与已知不符,因此直线AB的斜率存在.
设直线AB:y=kx+m,代入椭圆E的方程=1,得
(3+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣3)=0,①
因为直线AB与曲线E有公共点A,B,所以方程①有两个非零不等实根x1,x2,
所以x1+x2=﹣,x1?x2=,
又kAM=,kMB=
由kAM?kBM=得4(kx1+m﹣)(kx2+m﹣)=x1x2,
即(4k2﹣1)x1x2+4k(m﹣)(x1+x2)+4(m﹣)2=0,
所以4(m2﹣3)(4k2﹣1)+4k(m﹣)(﹣8km)+4(m﹣)2?(3+4k2)=0,
化简得m2﹣3+6=0,故m=或m=2.
结合x1x2≠0知m=2,即直线AB恒过定点N(0,2).
21. 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,右焦点到直线x+y+1=0的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A,B的点,当△AOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
参考答案:
(1)由 得
22. 如图所示的多面体中, 是菱形,是矩形,
面,.
(1)求证:平;
(2))若,求四棱锥的体积.
参考答案:
证明:(1)由是菱形
………………………………3分
由是矩形
………………………………6分
(2)连接,
由是菱形,
由面,
,……………………………………………10分
则为四棱锥的高
由是菱形,,
则为等边三角形,
由;则
,………………………………………14分
略
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