湖南省永州市禾亭镇中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省永州市禾亭镇中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是双曲线上关于原点O对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线折成直二面角，则折叠后线段长的最小值为（     ） A．   B．   C．   D．4 参考答案： D 略 2. 已知函数，定义如下：当，（    ） A有最大值1，无最小值                      B．有最小值0，无最大值     C．有最小值—1，无最大值    D．无最小值，也无最大值 参考答案： C 3. 设是方程的解，则属于区间(  ) A. （0，1）        B. （1，2）     C. （2，3）      D.（3，4） 参考答案： C 4. 在空间，下列命题正确的是（　　） A．平行于同一平面的两条直线平行 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 参考答案： D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【解答】解：平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故A错误； 平行于同一直线的两个平面平行或相交，故B错误； 垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故C错误； 由直线与平面垂直的性质得：垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 5. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点.若线段的中点到y          轴的距离为，则             （    ） A．2       B．        C．3       D．4 参考答案： C 略 6. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（      ）种. A．114          B．150              C．72             D．100 参考答案： D 7. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的图象可以是（    ） 参考答案： C 8. 下列命题中所有真命题的序号是________________． ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件； ③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件． 参考答案： C 略 9. 定义域为[]的函数图像的两个端点为A、B，M(x，y)是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式恒成立，则称函数f (x)在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为(    )     A.[0，+∞)    B.    C.    D. 参考答案： D 10. 已知全集集合则等于（   ） A.      B.     C.       D. 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种． 参考答案： 480 略 12. 随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为　  　． 参考答案： 2 【考点】频率分布直方图． 【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数 【解答】解：根据频率分布直方图，得； 样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55， ∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55； 从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人， 在[50，60）年龄段抽取的人数为 22×=22×=2． 故答案为：2． 13. 设P是双曲线上的一点，、分别是该双曲线的左、右焦点，若△的面积为12，则_________． 参考答案： 14. 若函数的零点是1，则的零点是           . 参考答案： 0或1 15. （不等式选做题）若不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为?，则a的取值范围为________． 参考答案： a≤5 16. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程 在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是        . 参考答案： 略 17. 函数的值域是               参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 如图，正三棱柱中，为 的中点，为边上的动点. （Ⅰ）当点为的中点时，证明DP//平面； （Ⅱ）若，求三棱锥的体积. 参考答案： 本试题主要是考查了空间立体几何中线面平行的判定和三棱锥的体积的求解的综合运用。 （1）利用线线平行，得到线面平行。 （2）根据已知条件，证明线面垂直得到锥体的高，进而利用锥体体积公式得到结论。 19. 已知F1，F2是离心率为的椭圆 两焦点，若存在直线，使得F1，F2关于的对称点的连线恰好是圆 的一条直径. （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆E的上顶点A作斜率为，的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由. 参考答案： （1）；(2)定点 【分析】 （1）由对称可知，椭圆焦距等于圆的直径，从而得到，再由离心率，求出，得出椭圆方程；（2）设直线，联立椭圆得到韦达定理，再由列出关系式，代入韦达定理，可解出，从而得到直线所过定点. 【详解】（1）将圆的方程配方得 所以其圆心为半径为1. 由题意知，椭圆焦距为等于圆直径，所以 又，所以， 椭圆的方程为； （2）因为，所以直线斜率存在， 设直线,， 消理得 ，（*） 又理得 即 所以 （*）代入得 整理的得, 所以直线定点 【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，综合程度较高属于中档题. 20. 已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上无零点，求的取值范围. 参考答案： (1)时，， ∴，故切点为. 又，∴， 故切线方程为，即. (2)， 当时，，此时在上单调递减； 当时，令得，(舍)， 当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. 由(2)知：当时，在上单调递减，， 此时在上无零点； 当时，在上单调递增，在上单调递减， ，解得. ∴，此时在上无零点； 当时，在上单调递增，，无解. 综上所述，. 21. 在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|． （Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程； （Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围． 参考答案： 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （I）设C（x，y），由点G是△ABC的重心，可得G，由y轴上一点M满足GM∥AB，可得．由|MC|=|MB|，利用两点之间的距离公式可得，即可得出； （II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，可得 2k2﹣m2+6＞0，由四边形OPRQ为平行四边形，可得，可得R（x1+x2，y1+y2），利用根与系数的关系可得R．由点R在椭圆上，代入椭圆方程化为2m2=k2+3．结合△＞0，即可解出m的取值范围． 解答： 解：（I）设C（x，y），∵点G是△ABC的重心， ∴G， ∵y轴上一点M满足GM∥AB，∴． ∵|MC|=|MB|， ∴， 化为即为△ABC的顶点C的轨迹E的方程； （II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0， 由△＞0，化为 2k2﹣m2+6＞0， ∴，． ∵四边形OPRQ为平行四边形， ∴， ∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m=， ∴R． ∵点R在椭圆上， ∴=6，化为2m2=k2+3． 代入△＞0，可得m2＞0， 又2m2≥3，解得或m． ∴m的取值范围是∪． 点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其质、三角形重心性质定理、重心与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22. （满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》 如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2． （I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF． 参考答案： 解：（I），，…（2分） 又，  ，，…………（4分） ，  …………（5分）  （II），，而，     …………（8分） ，．                        …………（10分）