广西壮族自治区桂林市青山中学高三数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区桂林市青山中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 参考答案： D 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】利用祖暅原理分析题设中的四个图形，能够得到在①和④中的两个几何体满足祖暅原理． 【解答】解：在①和④中， 夹在两个平行平面之间的这两个几何体， 被平行于这两个平面的任何一个平面所截， 截面面积都相等， ∴①④这两个几何体的体积一定相等． 故选：D． 【点评】本题考查满足祖暅原理的两个几何体的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 2. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 参考答案： A 试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A． 考点：排列组合的应用． 3. 曲线在点（1，0）处的切线方程为（    ）      A．        B．               C．       D． 参考答案： A 4. 在矩形ABCD中，.若点M,N分别是CD，BC的中点，则 A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： C 5. 在各项均不为零的等差数列中，若等于 A. B.0 C.1 D.2 参考答案： A 略 6. 若实数a、b、c＞0，且（a+c）?（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（　　） A．﹣1 B．+1 C．2+2 D．2﹣2 参考答案： D 【考点】基本不等式． 【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b）， 又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0， 则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2， 即2a+b+c的最小值为2﹣2， 故选：D． 7. 设集合，，若，则（    ） A．{－1,0,2}         B．{0,1,2}          C．{0,2}          D．{－1,0,1,2} 参考答案： A 由题意，则，解得， 所以集合，所以，故选A．   8. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足=2，则·（+）的值为 A.-4    B．-2    C．2   D．4 参考答案： A 9. 等差数列中，若，则 A．42              B．45               C．48               D．51 参考答案： C 10. 某高中数学兴趣小组准备选拔x名男生、y名女生，若x、y满足约束条件，则数学兴趣小组最多选拔学生(    ) A.21人    B.16人    C.13人    D.11人 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的定义域为                参考答案： 12. 如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，则的最小值等于　　． 参考答案： 【考点】7F：基本不等式． 【分析】由∠BAC=60°想到三角形面积公式，可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与重要不等式求解． 【解答】解：设AD=x，AE=y（0＜x≤4，0＜y≤3）， 由余弦定理得DE2=x2+y2﹣2xycos60°，即4=x2+y2﹣xy， 从而4≥2xy﹣xy=xy，当且仅当x=y=2时等号成立． 所以， 即的最小值为． 故答案为． 13. 设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的渐近线方程为   ▲   ． 参考答案： 略 14. 已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为　　． 参考答案： （，8] 【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合；综合法；不等式． 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，设P（x，y）、M（﹣1，0），可得（x+1）2+y2=|QP|2表示M、P两点距离的平方，因此运动点P并加以观察得到|MP|的最大、最小值，即可得到（x+1）2+y2的取值范围． 【解答】解：画出表示的平面区域如图： ， 而（x+1）2+y2的表示区域内点P（x，y）与点M（﹣1，0）的距离的平方， 由图知：|MC|2=（1+1）2+22=8最大； M到直线2x+y﹣2=0的距离的平方： 最小． 由于2x+y﹣2＞0不取等号， 所以不是最小值， 故答案为：（，8]． 【点评】本题给出二元一次不等式组，求（x+1）2+y2的取值范围，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题． 15. 在正三角形ABC的底边BC上取中点M，在与底边BC相邻的两条边BA和CA上分别取点P、Q，若线段PQ对M的张角∠PMQ为锐角，则称点P、Q亲密．若点P、Q在BA、CA上的位置随机均匀分布，则P、Q亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为　　． 参考答案： 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，记AR的长度为y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得y=，由此利用定积分能求出正三角形的亲密度． 【解答】解：设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2， 过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的， 记AR的长度为y=f（x）， 由PM2+MR2=RP2及余弦定理得： （x2﹣x+1）+[（2﹣y）2+（2﹣y）+1]=（2﹣x）2﹣（2﹣x）y+y2， 整理，得：y=， ∴正三角形的亲密度为： == []= [x﹣ln（x+1）] =． 故答案为：． 16. 已知函数，）的部分图象如图所示， 则______ ． 参考答案： 1 17. 已知函数，，是常数． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围； （3）证明：，存在，使． 参考答案： 解：（1）……………………………………………………………………1分 ， ……………………………………………………………………2分 函数的图象在点处的切线为，即……………………………………………………………………………………4分 （2）①时，，因为，所以点在第一象限，依题意，…………………………………………………………………………5分 ②时，由对数函数性质知，时，，，从而“，”不成立 ………………………………………………………………6分 ③时，由得，设， － ↘ 极小值 ↗   ，从而， ……………………………8分 综上所述，常数的取值范围 …………………………………………………………9分 （3）直接计算知…………………………………………………10分 设函数…………………………………11分 ， 当或时，， 因为的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使，即，使；…………………………………………………………………………12分 当时，、，而且、之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以有最小值，且 ， 此时存在（或），使。 …………………13分 综上所述，，存在，使…………………………14分     略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB//EF，，平面. （1）若G点是DC中点，求证：.      （2）求证：. 参考答案： .解：（1）   …………4分 又 （2）（1）………8分 ………10分 ………12分 略 19. （12分） 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。 （1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； （2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）； 参考答案： 解析： 本小题要考查互斥事件、相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。 （1）解：设“射手射击1次，击中目标”为事件A 则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率 =（6分） （2）解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率 （12分） 20. (本小题12分）已知函数    （I）求函数的最小正周期和单调递减区间；    （II）求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值。 参考答案： 解：（I）             所以     由得         所以函数的最小正周期为    （II）由（I）有     因为                                                                                           所以     因为     所以当取得最大值2 21. （本小题满分12分） 某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数情况如右表．大会组委 会为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样 的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中亚军队有5人． （Ⅰ）求季军队的男运动员人数； （Ⅱ）从前排就坐的亚军队5人（3男2女）中随机抽取人上台领奖，请列出所有的基本事件，并求亚军队中有女生上台领奖的概率； （Ⅲ）抽奖活动中，运动员通过操作按键，使电脑自动产生内的两个随机数，， 随后电脑自动运行如下所示的程序框图相应程序. 若电脑显示“中奖”，则该运动员获 相应奖品，若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该运动员获得奖品的概率． 参考答案： 解：（Ⅰ）设季军队的男运动员人数为. 由题意得，               解得.                                     …………………2分 （Ⅱ）记3个男运动员分别为，2个女运动员分别为， 所有基本事件如下： ，，，，， ，，，，共10种， ……………5分   设“亚军队中有女生上台领奖”为事件，其中事件的基本事件有7种，∴.                                  ……………7分 （Ⅲ）由已知，点在如图所示的正方形内， 由条件得到的区域为图中的阴影部分.由，令得，令得.∴在时满足的区域