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2022-2023学年广东省惠州市惠东县平山中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数是上以5为周期的可导偶函数,则曲线在处的切线的斜率( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. (5分)过点(1,0)且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是()
A. x﹣2y﹣1=0 B. x﹣2y+1=0 C. 2x+y﹣2=0 D. x+2y﹣1=0
参考答案:
A
考点: 两条直线平行的判定;直线的一般式方程.
专题: 计算题.
分析: 因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行,所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0,代入此直线所过的点的坐标,得参数值
解答: 解:设直线方程为x﹣2y+c=0,又经过(1,0),
∴1﹣0+c=0
故c=﹣1,
∴所求方程为x﹣2y﹣1=0;
故选A.
点评: 本题属于求直线方程的问题,解法比较灵活.
3. 过点 (1,2),且与原点距离最大的直线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
解析: 由分析可知当直线过点且与垂直时原点到直线的距离最大.因为,所以,所以所求直线方程为,即.
4. 已知,,,那么,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 下列四组函数中,表示相同函数的一组是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
6. (4分)点P从O点出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,O、P两点间的距离y与点P所走路程x的函数关系如图,那么点P所走的图形是()
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 函数的图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 认真观察函数的图象,根据其运动特点,采用排除法求解.
解答: 观察函数的运动图象,可以发现两个显著特点:
①点P运动到周长的一半时,OP最大;
②点P的运动图象是抛物线.
设点M为周长的一半,如下图所示:
由图可知,
图1中,OM≤OP,不符合条件①,因此排除选项A;
图4中,OM≤OP,不符合条件①,并且OP的距离不是对称变化的,因此排除选项D.
另外,在图2中,当点P在线段OA上运动时,y=x,其图象是一条线段,不符合条件②,因此排除选项B.
故选:C.
点评: 本题考查动点问题的函数图象,考查对于运动问题的深刻理解,解题关键是认真分析函数图象的特点.选项D中出现了椭圆,增加了试题的难度.
7. 若圆锥的高扩大为原来的3倍,底面半径缩短为原来的,则圆锥的体积( )
A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的2倍 D. 不变
参考答案:
A
【分析】
设原来的圆锥底面半径为,高为,可得出变化后的圆锥的底面半径为,高为,利用圆锥的体积公式可得出结果.
【详解】设原来的圆锥底面半径为,高为,该圆锥的体积为,
变化后的圆锥底面半径为,高为,
该圆锥的体积为,变化后的圆锥的体积缩小到原来的,
故选:A.
【点睛】本题考查圆锥体积的计算,考查变化后的圆锥体积的变化,解题关键就是圆锥体积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.
8. 已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
9. 已知集合,若,则等于
A. B. C.或 D.或
参考答案:
D
略
10. 设集合U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3},B={2,5}, 则A∩(UB)= ( )
A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3}
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设奇函数f(x)的定义域为[﹣5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是 .
参考答案:
{x|﹣2<x<0或2<x≤5}
【考点】函数奇偶性的性质;函数的图象.
【专题】数形结合.
【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象,结合图象解题.
【解答】解:由奇函数图象的特征可得f(x)在[﹣5,5]上的图象.
由图象可解出结果.
故答案为{x|﹣2<x<0或2<x≤5}.
【点评】本题是数形结合思想运用的典范,解题要特别注意图中的细节.
12. 若,则的值为________.
参考答案:
13. 设为方程的根(),则_______
参考答案:
解析:由题意,.由此可得
,,以及 .
.
14. 已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内,则实数b的取值范围是____.
参考答案:
【分析】
根据题意,设与关于原点的对称,分析可得的坐标,由二元一次不等式的几何意义可得,解可得的取值范围,即可得答案.
【详解】根据题意,设与关于原点的对称,则的坐标为,
若、均在不等式表示的平面区域内,则有,
解可得:,即的取值范围为,;
故答案为:,.
【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题,涉及不等式的解法,属于基础题.
15. 已知向量,,则= 。
参考答案:
16. 若,则的最小值是。
参考答案:
17. 已知不等式x2-2x-3<0的整数解构成公差为负的等差数列{an}的前三项,则数列{an}的第四项为 .
参考答案:
-1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列的首项,且满足.
(1)求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和为.
参考答案:
(1);(2)。
19. (本小题满分16分)
已知函数在区间上的值域为
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若关于的函数在区间上为单调函数,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵a>0,∴所以抛物线开口向上且对称轴为x=1.
∴函数f(x)在[2,3]上单调递增.
由条件得
,即,解得a=1,b=0. ………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=1,b=0.
∴f(x)=x2-2x+2,从而g(x)=x2-(m+3)x+2. ………………………8分
若g(x)在[2,4]上递增,则对称轴,解得m≤1;……………………11分
若g(x)在[2,4]上递减,则对称轴,解得m≥5,……………………14分
故所求m的取值范围是m≥5或m≤1. …………………………………………………16分
略
20. 如图所示的韦恩图中,A、B是非空集合,定义A*B表示阴影部分集合.若x,y∈R,,B={y|y=3x,x>0},则A*B=( )
A.(2,+∞) B.[0,1)∪(2,+∞) C.[0,1]∪(2,+∞) D.[0,1]∪[2,+∞)
参考答案:
C
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】先分别求出集合A和集合B,然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B={x|x∈A或x∈B且x?A∩B},最后根据新定义进行求解即可.
【解答】解:A={x|y=}=[0,2]
B={y|y=3x,x>0}=[1,+∞)
根据A*B表示阴影部分的集合可知
A*B={x|x∈A或x∈B且x?A∩B}
∴A*B={x|0≤x≤1或x>2}
故选C.
【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算,同时考查了识图能力以及转化的能力,属于新颖题型.
21. 三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A(1,2),求BC边所在的直线方程.
参考答案:
解:AC边上的高线2x-3y+1=0,
所以kAC=-.
所以AC的方程为y-2=-(x-1),
即3x+2y-7=0,
同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.
下面求直线BC的方程,
由得顶点C(7,-7),
由得顶点B(-2,-1).
所以kBC=-,直线BC:y+1=-(x+2),
即2x+3y+7=0.
略
22. 1等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列
(1)求{}的公比q;
(2)求-=3,求
参考答案:
解:(Ⅰ)依题意有
由于 ,故 又,从而
(Ⅱ)由已知可得
故, 从而
略
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