2022年湖南省益阳市教育局联校高三数学理期末试卷含解析

2022年湖南省益阳市教育局联校高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数，则下列结论正确的是                               A.函数在其定义域内为增函数且是奇函数    B. 函数在其定义域内为增函数且是偶函数 C. 函数在其定义域内为减函数且是奇函数   D.函数在其定义域内为将函数且是偶函数 参考答案： A 试题分析：由图可知，当时，是增函数，当时，是增函数， 当时，，由于，，，同时， 当时，，因此函数在其定义域内为增函数且是奇函数，由图象可知，答案为D. 考点：函数的奇偶性和单调性. 2. 已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为（  ）   A.              B.            C.                D.    参考答案： C. 试题分析：由题意得，，故选C. 考点：平面向量数量积. 3. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（  ） A. 27     B.3            C. 或3     D.1或27 参考答案： A 略 4. 已知向量与的夹角为， =（2，0），||=1，则|﹣2|=（　　） A． B． C．2 D．4 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】求出及||，计算（）2的数值再开方即可． 【解答】解：||=2， =||||cos=1， ∴（）2=﹣4+4=4． ∴|﹣2|=2． 故选C． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 5. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（　　） A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 参考答案： B 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】利用等差数列的定义与前n项和求解即可． 【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{an}中， a1=5，a30=1， ∴S30==90（尺）． 故选：B． 【点评】本题考查了等差数列的前n项和的求法问题，解题时应注意数列知识在生产生活中的合理运用，是基础题目． 6. 是虚数单位，已知复数Z=-4，则复数Z对应的点在第几象限  （    ） A．第四象限         B．第三象限         C．第二象限        D．第一象限   参考答案： C 略 7. 已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a 、b ,当m 变化时，的最小值为(     ) A．16            B. 8            C.          D. 参考答案： D 8. 数列的通项公式为，当该数列的前项和达到最小时，等于(    ) (A)        （B）         (C)       (D) 参考答案： 9. 如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若向扇形AOB内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（　　） A．450 B．400 C．200 D．100 参考答案： C 【考点】模拟方法估计概率． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比，可得概率，即可得出结论．． 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r， 试验发生包含的事件对应的是扇形AOB， 满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π?r2， 连接OC，延长交扇形于P． 由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r， 则S扇形AOB==； ∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是． ∴概率P=， ∵向扇形AOB内随机投掷300个点， ∴落入圆内的点的个数估计值为300×=200． 故选C． 10. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（0，0，1），（1，0，0），（2，2，0），（2，0，0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从轴的正方向向负方向看为正视方向，从轴的正方向向负方向看为俯视方向，以平面为投影面，则得到俯视图可以为（   ） 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为　   　． 参考答案： 【考点】CF：几何概型． 【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解． 【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s 则有 ∴s= 故答案为： 12. π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数．则3π，πe，3e，π3，e3，eπ这6个数中的最大值是　　　　　　． 参考答案： 考点： 指数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 构造函数f（x）= ，由导数性质得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．由e＜3＜π，得ln＜ln，ln＜ln．从而＜＜，＜＜，由函数f（x）= 的单调性质，得f（π）＜f（3）＜f（e），由此能求出，，，，，这6个数中的最大值． 解答： 解：函数f（x）= 的定义域为（0，+∞）， ∵f（x）= ，∴f′（x）= ， 当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增； 当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减． 故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）． ∵e＜3＜π， ∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln＜ln，ln＜ln． 于是根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得＜＜，＜＜， 故这六个数的最大数在π3与3π之中， 由e＜3＜π及函数f（x）=的单调性质，得f（π）＜f（3）＜f（e）， 即＜＜， 由＜，得ln＜ln，∴＞， ，，，，，这6个数中的最大值是． 故答案为：3π． 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大． 13. 将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称，则 的值为____________． 参考答案： 试题分析：函数的图象向右平移个单位后，所得函数解析式为，由其函数图象关于轴对称，则，又，所以. 考点：三角函数图象变换与性质． 14. 已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥 的体积为      ． 参考答案： 15. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为　　． 参考答案： 【考点】CF：几何概型． 【分析】以面积为测度，分别求面积，即可得出结论． 【解答】解：设正方形的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为4+4+=10， 阴影部分的面积为2×=2， ∴向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为=， 故答案为． 【点评】本题考查几何概型，考查概率的计算，正确求面积是关键． 16. 已知平面直角坐标内两点，，AB的中点是，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标为        （角用反三角表示）   参考答案： 17. A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧（包含端点）上一动点，若 ，则的取值范围为___. 参考答案： 【分析】 以圆心为坐标原点建立直角坐标系，设，两点在 轴上方且线段 与 轴垂直，分别表示出，两点的坐标，求出 、向量，即可表示出向量，由于是劣弧（包含端点）上一动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出的取值范围。 【详解】如图以圆心为坐标原点建立直角坐标系，设，两点在 轴上方且线段 与 轴垂直， ，为单位圆（圆心为）上的点，到弦的距离为， 点 ，点， ，，即，， ， 又是劣弧（包含端点）上一动点, 设点坐标为， ， ， ，解得： ， 故的取值范围为 【点睛】本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建立直角坐标系，表示出各点坐标，属于中档难度题。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. .随着教育信息化2.0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由； (2)求50名学员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级． (i)利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意? (ii)根据茎叶图填写下面的列联表：   基本满意 非常满意 线上培训     线下培训     并根据列联表判断能否有99.5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异? 附： 参考答案： （1）对线下培训满意度更高（2）（i）人（ii）有把握 【分析】 （1）由茎叶图，根据中位数、平均数的实际意义，以及数据集中与分散程度可判断哪种培训的满意度更高；（2）（i）直接利用中位数的定义可得中位数的值，统计对线上培训非常满意的频数可得非常满意的频率，进而可得结果；（ii）根据茎叶图可填写列联表，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论. 【详解】（1）对线下培训满意度更高．理由如下： （i）由茎叶图可知：在线上培训中，有的学员满意度评分至多分，在线下培训中，有的学员评分至少分．因此学员对线下培训满意度更高． （ii）由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为分，线下评分的中位数为分．因此学员对线下培训满意度更高． （iii）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于分；线下培训的平均分低于分，因此学员对线下培训满意度更高． （iv）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知．                       （i）参加线上培训满意度调查的名学员中共有名对线上培训非常满意，频率为， 又本次培训共名学员，所以对线上培训满意的学员约为人. （ii）列联表如下：