2023年四川省宜宾市罗渡乡中学高二数学理月考试题含解析

2023年四川省宜宾市罗渡乡中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积． 【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x ∴2p=4，可得=，得焦点F（） 设P（m，n） 根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4， 即m+=4，解得m=3 ∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24 ∴n== ∵|OF|= ∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2 故选：C 【点评】本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 2. 一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为(　　) 参考答案： D 略 3. 已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM 的周长为（   ） A.4  B.8        C.12    D.16 参考答案： B 4. 由确定的等差数列，当，序号等于（   ） A．99             B．100            C．96            D．101 参考答案： B 5. 已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（   ） 2 3 4 5 6 4 8 11 14 18   A. 2.6 B. -2.6 C. -2.8 D. -3.4 参考答案： B 【分析】 根据最小二乘法：，求得平均数后代入回归直线即可求得结果. 【详解】由题意得：； 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用最小二乘法求解回归直线问题，关键在于明确回归直线必过，因此代入点即可求解出. 6. 如图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（　　） A．161 cm B．162 cm C．163 cm D．164 cm 参考答案： B 【考点】BA：茎叶图． 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数的概念，即可求出结果． 【解答】解：根据茎叶图中的数据，得； 这10位同学的身高按从小到大的顺序排列， 排在第5、6的是161、163， 所以，它们的中位数是=162． 故选：B． 【点评】本题考查了中位数的概念与应用问题，是基础题目． 7. 设函数y=f(x)为R上的可导函数,当x 时, ,则关于x的方程的根的个数为    A．0 B．1 C．2 D．0或2 参考答案： A 8. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣ 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π． 故选：B． 9. 下列说法正确的个数有（    ） ①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好； ②可导函数在处取得极值，则； ③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”. A．1个        B．2个       C．3个         D．4个 参考答案： C 用相关指数来刻画回归效果,值越大,说明模型的拟合效果越好,故①错误; 根据极值的定义可知, 可导函数在处取得极值，则正确; 归纳推理是由部分到整体,特殊到一般的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,故③正确; 根据综合法的定义可得,综合法是执因导果,是顺推法,根据分析法的定义可得,分析法是执果索因,是直接证法,是逆推法,故④正确; 综上可得,正确的个数为3个,故选C.   10. 已知集合集合，则集合的子集个数为（ ） A.        B.        C.           D.                               参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列命题中，真命题的是                  .     ①必然事件的概率等于l        ②命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题     ③对立事件一定是互斥事件     ④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 参考答案： 12. 已知直线和互相平行，则实数的值为_____ 参考答案： m=6或  13. 设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率e=         . 参考答案： 14. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为       . 参考答案： 15. 设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是________． 参考答案： 16. 已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为　　． 参考答案：   【考点】椭圆的简单性质． 【分析】画出图形，利用已知条件列出方程，求解即可． 【解答】解：O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，如图：可得：， ==，可得b=c，a=c， 所以椭圆的离心率为：． 故答案为：． 　 17. 复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是，则是              参考答案： -2i 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f（α）=． （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值． 参考答案： 考点：运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：（1）f（α）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，即可得到结果； （2）已知等式左边利用诱导公式化简求出sinα的值，再利用同角三角函数基本关系求出cosα的值，即可确定出f（α）的值． 解答： 解：（1）f（α）===﹣cosα； （2）∵α为第三象限角，且cos（α﹣）=﹣sinα=， ∴sinα=﹣， ∴cosα=﹣=﹣， 则f（α）=﹣cosα=． 点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 19. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． （Ⅰ）求椭圆的方程； 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意知， 所以． 即．所以，．故椭圆的方程为． （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在．设：，，，， 由得． ，． ，． ∵，∴，， ． ∵点在椭圆上，∴，∴． ∵＜，∴，∴ ∴，∴，∴． ∴，∵，∴， ∴或，∴实数取值范围为． （Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当 时，求实数的取值范围． 略 20. 已知点在椭圆上，且椭圆一个顶点坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于点R、T，且满足·＝8，求直线的方程． 参考答案： 略 21. 今年宁徳市工业转型升级持续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．（月销售收入=月生产成本的120%+月广告费的50%） （Ⅰ）将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数； （Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（I）该电机的月生产成本（25T+5）万元，月销售收入为（25T+5）×120%+x?50%，月利润为S=（25T+5）×120%+x?50%﹣（25T+5）﹣x，整理即得； （II）由利润函数S的解析式，利用基本不等式可得L的最大值． 【解答】解：（I）由题意知，该电机的月生产成本为（25T+5）万元， 月销售收入为（25T+5）×120%+x?50%，…（2分） 月利润为S=（25T+5）×120%+x?50%﹣（25T+5）﹣x， 即S=5T+1﹣x．又T=5﹣（1≤x≤5），…（4分） 所以S=5T+1﹣x=26﹣﹣x（1≤x≤5）．．…（7分） （II）由S=26﹣﹣x=26﹣（+x）≤26﹣2=24  …．（10分） 当且仅当=x，即x=2时，S有最大值24．…（11分） 因此，当月广告费投入约为2万元时，此厂的月利润最大，最大月利润约为24万元．…..（12分） 【点评】本题考查了利润函数模型的应用，在建立函数解析式的基础上，利用基本不等式，求得函数的最值． 22. 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4． （1）求直线2x﹣y+4=0被圆C所截得的弦长； （2）求过点M（3，1）的圆C的切线方程． 参考答案： 【考点】圆的切线方程． 【分析】（1）求出圆心C（1，2）到直线2x﹣y+4=0的距离，即可求直线2x﹣y+4=0被圆C所截得的弦长； （2）分类讨论，利用圆心C（1，2）到直线kx﹣y﹣3k+1=0的距离等于r，即可求过点M（3，1）的圆C的切线方程． 【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心为（1，2），半径长r=2， （1）圆心C（1，2）到直线2x﹣y+4=0的距离为：， 所以直线2x﹣y+4=0被圆C所截得的弦长为： （2）因为（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＞4，所以点M在圆外， 当切线斜率存在时，设切线方称为：y﹣1=k（x﹣3） 即kx﹣y﹣3k+1=0， 圆心C（1，2）到直线kx﹣y﹣3k+1=0的距离为： 由题意有：，所以 此时切线方称为：，即3x﹣4y﹣5=0， 当切线斜率不存在时，直线x=3也与圆相切． 综上所述，所求切线方称为：3x﹣4y﹣5=0或x=3．