2022年湖南省衡阳市 市石鼓区松木中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年湖南省衡阳市 市石鼓区松木中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（    ） A．2017         B．2016       C．1009         D．1008 参考答案： D 输出结果为 ，选D.   2. 已知Sn是等差数列{}的前n项和，且S3＝S8，S7＝Sk，则k的值为（　　） 　A、3　　B、4　　C、5　　D、6 参考答案： B 3. 命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（   ） A．           B．           C．          D． 参考答案： 4. 设正项等差数列的前n项和为则S5等于        A．30                         B．40                         C．50                         D．60 参考答案： C 5. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为(   ) A. 24里 B. 48里 C. 72里 D. 96里 参考答案： D 6. 函数的零点所在的区间是（     ） A．         B．        C ． D． 参考答案： C 略 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（   ） A．      B．       C．       D． 参考答案： C 略 8. 当点(x,y)在函数上移动时，的最小值是              （    ）   A.       B.  7      C.      D.  6 参考答案： B 9. 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是（   ） A．          B．        C．        D． 参考答案： D 当时，第次取出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为 故 故选：D   10. 若的三个内角满足，则（    ） A. 一定是锐角三角形                   B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形                   D. 可能是锐角三角形，也可能是直角三角形 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知一元二次不等式的解集为{，则的解集为     。 参考答案： {| <－1或>1}   略 12.   已知O为坐标原点, 集合 且              参考答案： 答案:46 13. 设A，B是R的两个子集，对任意，定义： ①若，则对任意， _____； ②若对任意，，则A，B的关系为__________. 参考答案： 0    【分析】 由题意分类讨论x?A和x∈A两种情况即可求得的值，结合题中的定义和m,n的关系即可确定A,B之间的关系. 【详解】①∵A?B.则x?A时,m=0,m(1?n)=0. x∈A时,必有x∈B,∴m=n=1,m(1?n)=0. 综上可得：m(1?n)=0. ②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1， 即x∈A时，必有x?B，或x∈B时，必有x?A， ∴A,B的关系为. 【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 在区域M={(x,y)|}内撒一粒豆子，落在区域N={(x,y)|x2+(y-2)2≤2}内的概率为__________. 参考答案： 略 15. 已知数列满足a1=1，，则=______ . 参考答案： 16. （5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+i4+i5+i6=　　． 参考答案： i 因为i2=﹣1，所以1+i+i2+i3+i4+i5+i6=1+i﹣1+i（i2）+（i2）2+i（i4）+（i2）3 =1+i﹣1﹣i+1+i﹣1=i． 故答案为i． 17. 已知圆：与轴正半轴的交点为，点沿圆顺时针运动弧长到达点，以轴的非负半轴为始边，为终边的角记为，则         ． 参考答案： 考点：任意角三角函数的定义. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）解不等式； （2）记函数的最小值m，正实数a，b满足，求证：． 参考答案： （1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用零点分段讨论方法可解不等式. （2）利用绝对值不等式可求，再利用基本不等式求出的最小值后可证. 【详解】（1）等价于 或或， 故或或， 综上解集为.                     （2） 当且仅当取等号， ，， ，当且仅当时等号成立， ． 【点睛】（1）绝对值不等式指：及，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值. （2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画． 19. （13分） 在袋子中装有大小相同的10个小球，其中黑球有3个，白球有）个，其余的球为红球． (Ⅰ)若，从袋中任取一个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；        (Ⅱ)从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数. 参考答案： 解析：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则． 所以，． 答：三次取球中恰有2个红球的概率为．………………………………5分 （Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则 整理得：，解得n=3或n=4． 所以红球的个数为3或4．………………………………………………………13分 20. （本小题满分13分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a－)万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2 x%. （I）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （II）在（I）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？ 参考答案： （I）由题意得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000 （3分） 即x2－500≤0，又x＞0，所以0＜x≤500 答：最多调整出500名员工从事第三产业 （5分） （II）从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a－)x万元万元，从事原来产业的员工创造的年总利润为10(1000－x)(1＋0.2x%)万元， 则10(a－)x≤10(1000－x)(1＋0.2x%) （8分） ∴a≤5，又a＞0，故a的取值范围是(0，5] （13分） 21. 已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=，． （Ⅰ）求cosB； （Ⅱ）求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间基本关系化简，利用等比数列的性质及正弦定理化简后，求出sinB的值，即可确定出cosB的值； （Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积． 【解答】解：（Ⅰ）由+=+==①， 又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac， 由正弦定理化简得：sin2B=sinAsinC， ∵在△ABC中有sin（A+C）=sinB， ∴代入①式得：=，即sinB=， 由b2=ac知，b不是最大边， ∴cosB==； （Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得，ac=a2+c2﹣2ac?=（a+c）2﹣ac， ∵a+c=，∴ac=5， ∴S△ABC=acsinB=2． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 22. （本小题满分14分）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围； （Ⅲ）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值. 参考答案： （Ⅰ）设,的坐标分别为,其中 由题意得的方程为: 因到直线的距离为,所以有,解得……………2分 所以有……① 由题意知: ,即……② 联立①②解得: 所求椭圆的方程为……………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆的方程为 设,，由于,所以有 ……………7分 又是椭圆上的一点,则 所以 解得：或              ……………9分 （Ⅲ）由, 设 根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为 把它代入椭圆的方程,消去,整理得: 由韦达定理得,则, 所以线段的中点坐标为 (1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴 于是 由,解得: ……………11分 (2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为 因为点是线段垂直平分线的一点 令,得: 于是 由,解得: 代入,解得: 综上, 满足条件的实数的值为或.   ……………14分