计算固体力学,64学时 研510 周二、周四9、10、11节,第五章 单元构造与分析,§5.1 单元形状与节点数,三节点三角形单元 CST(常应变单元) 线性三角形单元,六节点三角形单元 线性应变三角形 二次三角形单元,八节点四边形单元,三角形单元网格划分简单； 常应变三角形单元对于弯曲，过刚；加密网格时可以收敛，收敛很慢；对于平面应变问题网格可能锁定；线性应变三角形元描写弯曲性能远优于CST单元 四边形单元剖分比较困难(但平面问题总的来说,剖分单元已可解决得很好) 四节点四边形单元属于Lagrange插值. 八节点四边形单元非完全二次元,属于Serendipty单元,四节点四边形单元 双线性位移场,第五章 单元构造与分析,§5.1 单元形状与节点数,四节点四面体单元 线性位移场 常应变,十节点四面体单元 完全二次位移场 线性应变场,八节点四面体单元 Lagrange插值,二十节点Serendipity单元,四面体单元划分网格简单，八面体单元划分网格困难得多，仍为研究前沿§5.2 插值函数,,,记场函数(如位移u,v,w)为φ，采用多项式插值函数,计算该函数在单元节点的值，记为,实现了用场函数在节点的值和形函数来表示场函数在单元内的分布,矩形单元Lagrange族和Serendipty族,Lagrange插值法 一维单元Lagrange插值法 线性单元 二次单元,二维矩形四节点及九节点单元可用下列方式。
类似可推出16节点元,未知数太多,带宽不等；可以推广至三维问题；,非完全二次函数,非完全四次函数,相应于中间点的形函数是个泡泡函数,内部自由度,Lagrange插值法 一维单元Lagrange插值法 线性单元 二次单元,三维六面体八节点及二十七节点单元可用下列方式可以推广至三维问题；,非完全三次函数,非完全六次函数,相应于中间点的形函数是个泡泡函数,内部自由度,利用性质,矩形单元Lagrange族和Serendipty族,Serendipty族单元 内部没有节点,但边界有中间点，有比较巧妙的构造方法,类似可推出12节点元,未知数太多,带宽不等,改进三角形单元,角点有旋转自由度单元：应用于只有角节点的三角形单元；比CST单元性能好，比LST单元未知数少（每个单元9个未知数）为了和梁，板，壳连接需要，对于折板等计算特别有效 构造角点有自由度的单元可以从LST单元退化而来，设想角点i和j发生旋转,,,,i,j,k,,,,m,非协调元,Ｑ6非协调元，有六个形函数，但是只有四个节点；二个形函数相当在边界的泡泡函数，相应的四个未知数相应于内宾自由度，和其它相邻单元无关相邻单元因此变形不协调，只在单元顶点联结。
结构变形时，可以在单元间出现裂缝或迭合；,,,,,,,x,y,,2a,,2b,这样的单元比Ｑ４柔顺，因此虽然不协调，但给出的结果更好； 其结果从上面趋于真解；（协调元从下面趋于真解）,§5.3 等参单元,坐标插值,位移插值,等参单元的要点是：将任意物理空间坐标的单元变换到数学的自然坐标系中，采用的变换函数和描写场函数的单元形函数相同如果位移映射的形函数阶数高，则称次参单元，否则称超参单元等参单元使得我们可以处理非矩形、具有曲边的单元，能够使有限元模型更适应形状复杂的物体，等参元覆盖所有的有限元类型单元刚度阵,应变矩阵,,注意:1.需要雅可比矩阵及其逆阵; 2.积分已经不可能解析地求得，必须数值积分；积分方法和精度成为讨论的一个新问题；虽然某些情况可得到解析解，但公式繁琐，编程复杂，特别是，计算的工作量可能不比数值积分的小.,数值积分,Gauss积分：,(1)一维Gauss积分,Hi为Gauss权系数,i为Gauss积分点,对于线性函数，一点积分给出精确结果 对于二次函数，二点积分给出精确结果 对于三次函数，三点积分给出精确结果,四点积分：Ｉ＝f1+f2+f3+f4,九点积分： Ｉ＝25(f1+f3+f7+f9)/81+40(f2+f4+f6+f8)/81+64f5/81,(3)三维Gauss积分,对于矩形单元、平面四边形单元、四面体单元和六面体单元（如果单元侧面是平面），则刚度阵的被积函数是多项式，可以用适当阶数的数值积分求得精确的积分值。
对于具有曲边曲面的单元，被积函数不是多项式，而是有理式，无法用有限阶的数值积分得到准确的积分值提高积分阶数当然可以提高积分精度，但是，计算工作量增加很大从计算工作量考虑，选择低阶积分是必要的 选择低阶积分公式更重要的原因是：实践发现，精确的单元刚度阵太刚，采用低阶积分可以低估单元刚度，反而使计算更精确但是，太低阶数的积分会使单元刚度阵具有零能模式，从而使单元不稳定 还有其它积分格式可以利用常用的单元形函数,(1),(2),(3),作业：,写一个有限元程序(平面问题) 写出程序结构 总体流程图 各部分详细框图 写程序，并提交算例分析报告,。