第七章第二次习题课 一、求切线、法平面；切平面、法线方程 1空间曲线的切线及法平面 （1） 由参数方程给出时（2） 由一般式方程给出时 则 2求曲面的切平面与法线 (1)的方程为F(x，y，z)=0，M0是上一点，则法向量 (2)为z=f(x，y)时，fx、fy在(x0，y0)处连续， 例1 求曲线 y2= 2mx,z2 = mx在点M0(x0,y0,z0)处的切线方程解：将y、z视作x的函数,方程两端对x求导,有 在点(x0，y0，z0)处的切向量可取切线方程为 例2 在曲面z = xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0，并写出这法线的方程解：曲面z=xy上点(x0，y0，z0)处的一个法向量为已知平面的法向量为n1=1，3，1，依题意应有nn1，即故所求点为(3，1，3)，所求法线方程为例3 证明曲面 在任一点处的切平面都通过原点，其中f (u)的导函数连续 证明： 设M0(x0，y0，z0)是曲面上任意取定的一点，则曲面在点M处的一个法向量可记为曲面在点M0处的切平面方程为将原点坐标代入上方程左端，左端= 0右端 二、求方向导数与梯度1、方向导数（i）定义(ii)计算方法对于三元函数 1）公式（可微）：2）用定义(函数不可微) (ii)性质（与方向导数的关系） 函数f (x，y)的梯度是这样一个向量，它的方向与函数取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
2、梯度 (i)定义例2 设x轴正向到方向l 的转角为 ，求函数 f（x，y）= x2 - xy+y2在点（1，1）沿方向l 的方向导数，并分别确定转角 ，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0解法一 gradf（1，1）=1，1，当l 的方向与gradf（1，1）一致时，方向导数可取得最小值.当l 的方向与-gradf（1，1）一致时，导数可取得最大值；方向导数值为零解法二 根据方向导数的计算方法：方向导数可取得最大值；方向导数可取得最小值； 三、 求多元函数的极值、最值1、掌握多元函数极值的必要条件与充分条件2、多元函数最值的求法（i）有界闭区域上的最值问题 将函数在D内的可能极值点处的函数值与函数在D的边界上的最值（通常化为无条件极值问题或条件极值问题）相比较而确定ii）实际问题中：如依问题的实际意义知函数的最大（小）值一定在D内取得，而函数在D内偏导数存在且驻点唯一，则可断言驻点处的函数值就是要求的最大（小）值 3、条件极值及拉格朗日乘数法 (i) 函数z= f (x，y)在条件 辅助函数 (iii)函数u=f (x，y，z，t)在条件下的极值 辅助函数 (ii) 函数u= f (x,y,z)在条件辅助函数 解可得即例3解法一分析:得解法二 作切平面平行于平面，设切点为 (x0 ,y0 ,z0)例4、求函数在区域的最大值和最小值解 因为解方程得开区域内的可能极值点为 其对应函数值为 又当y=0 时 上的最大值为4，最小值为0. 在比较函数值 其对应函数值为 得可能极值点 解方程组 构造拉格朗日函数当 知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0 。