第一章 Banach 空间 用一种比拟的说法, 可将泛函分析界定为“ 无限维空间上的分析学” ; 若更特 殊点, 就是“ Banach 空间上的分析学”.于此可见, Banach 空间对于泛函分析之意 义, 恰如 Euclid 空间对于经典分析之意义 .因此, 关于 Banach 空间基本理论的初 步介绍, 自然地构成本书的第一章, 读者不妨将它与数学分析中的实数理论相对 照 . § 1.1 赋范空间及其完备性 让我们回顾一下熟知的 Euclid 空间 R n, 它由所有形如 x = ( x 1, x2, „, xn) 的 n 个实数的有序组构成, 通常将 x 简写作( xi) .R n 依运算 α( xi)+ β( yi)= ( αxi+ βyi) 是一个 n 维实向量空间 .每个向量 x ∈ R n 依公式 x= ∑ n i = 1 xi 2 1 / 2 ( 1) 计算其模长 .x 也称为 Euclid 范数, 它具有直观上显明的性质: ( i) α x=α | | x ; ( ii)x + y ≤x | + | y ; ( iii)x ≥ 0; x= 0 x = 0( R n 的零元) , 以上 x, y ∈ R n, α ∈ R.若 {x(k) }是 R n 中一序列, x ∈ R n, 则 x (k)→ x x (k) - x → 0( k → ∞ ) .( 2) 一个有重大意义的事实是: R n 中的极限论及基于极限概念的分析理论的许多结 果, 仅依赖于式( 2)与模长性质( i)～( iii) , 而与模长的定义式( 1)无关, 因而实际 上并不依赖于 Euclid 空间的特殊构造 .这就启示出: 若某个向量空间上定义了一 种类似于模长的概念, 它具有性质( i)～( iii) , 则依式( 2)定义极限之后, 就可将 Euclid 空间中那些仅依赖于性质( i)～( iii)的概念与结论直接推广于该空间, 从 而得到经典分析的一个具有广阔发展余地的拓广 .以上想法引向赋范空间概念, 它的严格定义在逻辑上是很简单的: 1 .1 .1 定义 设 X 是数域 K( = R 或 C, 本书皆如此)上的向量空间 ① .若对 ① 即线性空间, 有关的概念可参看任何一本线性代数教科书 . 每个 x ∈ X, 指定了一个实数 ‖ x‖, 称为 x 的范数①, 它满足以下范数公理: ( N1)齐次性: ‖αx‖ =α ‖ x‖; ( N2)三角不等式: ‖ x + y‖ ≤ ‖ x‖ + ‖ y‖; ( N3)正定性: ‖ x‖ ≥ 0; ‖ x‖ = 0 x = 0 ( 以上 x, y ∈ X, α ∈ K) , 则称 X 为赋范向量空间, 简称为赋范空间, 当必要明确 指出范数时写作( X, ‖·‖) .若 K = R( 或 C) , 则称 X 为实( 或复)赋范空间 . 依定义 1 .1 .1, R n 就是一个实赋范空间, 其中的范数即 Euclid 范数( 1) .类似 地, 同一公式( 1)定义的范数使 Cn成为复赋范空间 .今后以 Kn泛指 Rn与 Cn, 它 经常用作解释赋范空间概念的模型 . 与特殊的 Euclid范数不同, 定义1 .1 .1 中的范数‖ x‖ 并无具体计算公式 .初 看起来, 这似乎是一缺点 . 实际上, 这正是赋范空间概念的优点: 本质的东西其实 只是公理( N1)～( N3) , 范数 ‖ x‖ 的具体界定正是要舍弃的 . 图 1 - 1 以下设 X 是一个给定的赋范空间 . 我们将大量借用通常的几何术语, 以加强与 平常 Euclid 空间的类比 .例如,X 中的元称为点或 向量, 向量 x 亦解释为从点 0 到点 x 的有向线段 ( 图 1 - 1) , 而 ‖ x‖ 即其“ 长度” .三角不等式无 非是说: 三角形一边之长不超过另两边长之和 .如 同在 R n 中一样, 由公理( N2)易推出: ‖∑ n 1 xi‖ ≤∑ n 1‖ xi‖; ( 3) ‖ x‖ - ‖ y‖ ≤ ‖ x - y‖ .( 4) 你应当能说出这两个不等式的几何意义 .对任给 x, y ∈ X, 称 ‖ x - y‖ 为点 x 与 y 之间的距离, 也记作 d( x, y) .更一般地, 对任给 A, B X, 定义 A 与 B 之间 的距离为 d( A, B)=inf a ∈ A ,b∈ B‖ a - b‖ . ( 5) 约定 d( x, B)=d( {x } , B) .定义 A 的直径为 diam A =sup x , y ∈ A‖ x - y‖; ( 6) 当 diam A 0, 使 αn≤ A( n ∈ N). 于是 ‖αnxn- α x‖≤ ‖αnxn- αnx‖ + ‖αnx - α x‖ ( 用( N2) ) =αn‖ xn- x‖ +αn- α ‖ x‖ ( 用( N1) ) ≤ A‖ xn- x‖ +αn- α ‖ x‖ → 0( n → ∞) , 可见 αnxn→ α x . 这就证明了: 乘积的极限等于极限的乘积 . 无穷级数概念亦可引进赋范空间: 若 xn∈ X( n = 1, 2, „) , sn= ∑ n 1 xi, sn→ x( n → ∞) , 则说无穷级数∑xn收敛于 x, 写作 x = ∑ xn.若∑‖ xn‖ 收敛, 则说级数∑xn绝对收敛 . 至此, 读者或许会认为赋范空间中的极限论原来很简单: 无非照搬老的极限 定理而已 .但你不可过分乐观, 我们马上就要指出一个不能简单照搬的极限定理 . 在经典分析中, 最重要的定理无疑是: Cauchy 收敛原理 数列{xn}收敛的充要条件是 lim m ,n xm- xn= 0,( 8) 即 ε 0, N, m, n ≥ N: xm- xn 0, N, m, n ≥ N, x ∈ Ω: um( x)- un( x) 0, 使得( 对照( 12) ) α‖ x‖ ≤ ‖ x‖′≤ β‖ x‖ ( x ∈ X) , 则说 ‖·‖ 与 ‖·‖′是 X 上的等价范数 . 由( 12) 直接推出: ‖ xn- x‖ → 0‖ Txn- Tx‖ → 0( n → ∞ ) .因此, 空间 X 中基于极限的所有结论通过拓扑同构 T 自然地过渡到空间 Y; 或者说, 就涉及 极限的性质而言, 互相拓扑同构的赋范空间实质上毫无区别, 因而完全可互相替 换 .相应地, 对于所有基于极限的问题, 同一空间上互相等价的范数是没有区别 的 .至于互相等距同构的赋范空间, 则在涉及距离的问题上亦无区别, 因而可看作 完全相同的赋范空间 .不过, 互相拓扑同构的赋范空间形式上可能相差甚远, 实际 判定两个赋范空间是否拓扑同构往往不易 .但我们还是有以下重要结果 . 1 .1 .6 定理 K 上的所有 n( ∈ N)维赋范空间互相拓扑同构 . 证明放在 § 1 .9 中 .这个出色的定理的意义是显而易见的 .既然所有 n 维赋 范空间互相拓扑同构, 我们只需取其中之一作为标本研究就够了 .最简单的标本 当然是 K n .因 K n 完备, 故所有有限维赋范空间都是完备的; 这又推出任何赋范空 间的有线维子空间必是闭的( 用 1 .1 .4) .其次, 将定理 1 .1.6 用到 K n 得出, K n 中 任何范数必定互相等价 .例如, R n 中的范数 x1= ∑ n 1 xi 必定等价于 Euclid 范数( 1) .这些事实都是基本而常用的 . 鉴于完备性的重要性, 自然提出一个问题: 赋范空间“ 一般地”是完备的吗? 回答是否定的 .例如, 由 1 .1 .4 推出, 即使 X 是完备的, 它的非闭子空间必定非完 备 .粗略地说, 不完备的空间中存在孔隙, 使得有些 Cauchy 列的极限( 它们本应存 在) 从这些孔隙中漏掉了, 那么不完备空间能否“ 修补” 成完备空间?回答是肯定 的 . ·5·§ 1 .1 赋范空间及其完备性 ① 即保持线性运算的双射. 1 .1 .7 定理 任何赋范空间必存在完备化; 一个赋范空间的所有完备化互相 等距同构, 因而本质上是唯一的 . 这一重大结果的直接证明颇为繁琐, 不拟给出 .在 § 2.5 中我们将给出一个 极简短的间接证明 . § 1.2 函数空间 在泛函分析的应用中常见的 Banach 空间, 大多以函数空间( 包括序列空间) 的形式出现 .其中最简单而又常用的是本节所述的两类空间:L p 空间与 C r 函数 空间, 它们分属“ 坏函数”的空间与“ 好函数”的空间, 二者在实际应用及其他函数 空间的研究中均起基本作用 . 以下设 J = [ a, b] R, a 0( x y) , 于是 φ ( x)≥ φ ( y)= 0, 这推出不等式( 3). 现在利用( 3) 来建立著名的 H lder 不等式: ‖ uv‖1≤ ‖ u‖p‖ v‖q, u ∈ L p( J) ,v ∈ Lq( J). ( 4) 不妨设 ‖ u‖p‖ v‖q 0( 否则式( 4)自动成立! ) , 于是 ‖ uv‖1 ‖ u‖p‖ v‖q = ∫ b a uv ‖ u‖p‖ v‖q d m = ∫ b a u p ‖ u‖ p p 1 / p v q ‖ v‖ q q 1 / q d m ≤∫ b a u p p‖ u‖ p p + v q q‖ v‖ q q d m ( 用( 3) ) = 1 p + 1 q = 1, 这表明不等式( 4) 成立 . 现在利用 H lder 不等式来验证三角不等式 .取定 u, v ∈ L p ( J) , 有 ‖ u + v‖ p p=∫ b a u + vu + v p - 1 d m ≤∫ b a uu + v p - 1 d m +∫ b a vu + v p - 1 d m ≤ ( ‖ u‖p+ ‖ v‖p) ‖u + v p - 1‖ q ( 用( 4) ) = ( ‖ u‖p+ ‖ v‖p) ‖ u + v‖ p / q p, ( 用( p - 1)q = p) 这推出 ‖ u + v‖p≤ ‖ u‖p+ ‖ v‖p. ·7·§ 1.2 函数空间 2° 证完备性 .设 {un}是 L p ( J)中的 Cauchy 列, 即 ε 0, N, m, n ≥ N: ‖ um- un‖p 0, 使得 ‖ un- un 1‖ p n1, 使得 ‖ un- un 2‖ p 0, 有 A ∩ Br( x) ≠ , 则称 x 为 A 的触点 .以 粖 A 记 A 的触点 之全体, 称它为 A 的闭包 . ( iii)令 A = 粖 A \ A°, 称它为 A 的边界, 其中的点称为 A 的边界点 . ( iv)若 x ∈ A \{x} , 则称 x 为 A 的聚点或极限点 .以 A′ 记 A 的聚点之全体, 称它为 A 的导集 . 如果设想 A 是通常的平面( 或空间)图形, 则关于内部、 闭包、 边界等概念的 直观印象是极为明显的, 正是这种直观印象为理解上述诸概念提供了主要的启 示, 值得充分利用 .但也应注意, 不要以直观印象来代替逻辑论证 . 同一概念可从多种不同角度来刻画 .以闭包概念为例说明如下 . 1 .3 .2 命题 设 A X, x ∈ X, 则以下条件互相等价: ( i) x ∈ 粖 A; ( ii)存在序列 {xn} A, 使 xn→ x( n → ∞) ; ( iii)d( x, A)= 0; ( iv) x ∈ A ∪ A′ . 证 ( i) ( ii) . 若 x ∈ 粖 A, 则依定义, n ∈ N, xn∈ A ∩ B1 / n( x) , 于是 {xn} A, xn→ x( n → ∞ ) . ·11·§ 1 .3 点 集 ① 较常用的是开邻域, 特别是球形邻域. 但限于使用开邻域并无必要 . ( ii) ( iii) . 若 {xn} A, 。