§4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,,一、性质的证明 §3.2 给出了闭区间连续函数的三个性质:有界性、最值性和零点定理，没有给予证明本节除给出这三个性质的证明外，还要引入一个新 概念——一致连续，并证明闭区间的连续函数必是一致连续（第四个性质）这四个性质都是建立在实数连续性的基础之上因此，他们的证明要应用§41中描述实数集连续性的定理 定理1.（有界性) 若函数 在闭区间 连续，则函数 在闭区间 有界，即 ，有 证法 有已知条件得到函数有 在 的每一点的某个领域有界要将函数 在每一点的领域有界扩充到在闭区间 有界，可应用有限覆盖定理，从而能找到 证明 已知函数 在 连续，根据连续定义，,有 从而 ， 即 ,函数 在开区间 有界。
显然，开区间集 覆盖闭区间 .根据有限覆盖定理（§4.1定理3），存在有限个开区间，设有n个开区间,也覆盖闭区间 ，且 ，有 取 于是， ，且 ， 有 定理2、（最值性）若函数 在闭区间 连续，则函数 在 取到最小 值 与最大值 ，即在 上存在 与 ，使 与 且 ，有 证法 只给出取到最大值的证明。
根据定理1，函数 在 有界只须证明， ，使 ，即函数 在 取到最大值 证明 设 用反证法假设 ，有 显然，函数 在 连续，且 于是，函数 在 也连续根据定理1，存在 ， 有 或 即 不是数集 的上确界，矛盾于是 ，使 定理3.（零点定理） 若函数 在闭区间 连续，且 （即 与 异号），则在开区间 内至少存在一点 ，使 证明 不妨设 用反证法假设 ， 有 ，将闭区间 二等分，分点是 已知 ，如果 ，则函数 在闭区间 的两个端点的函数值的符号相反；如果 ，则函数 在闭区间 的两个端点的函数值的符号相反。
于是，两个闭区间 与 必有一个使函数 在其两个端点的函数值的符号相反将此闭区间表为为 ，有 再将 二等分，必有一个闭区间，函数 在其两个端点 的函数值符号相反将此闭区间表为 ,有 用二等分方法无限进行下去，得到闭区间列 ，且 1） 2） 对每个闭区间 ，有 根据闭区间套定理 (§4.1定理1)，存在唯一数 属于所有的闭区间，且 （1）,,而 ，且 ，设 一方面，已知函数 在 连续，根据连续符号大的保号性， ，即 有 ；另一方面，由（1）式，当 充分大时，有 已知 ，即函数 在 中某点的函数值小于0，矛盾。
于是， 同法可证 所以闭区间 内至少存在一点 ， 使 二、一致连续性 设函数 在区间 连续即 函数 在 连续根据 连续定义， （满足连续定义的 有无限多，取较大者）， ，有 从连续的定义不难看到， 的大小，一方面与给定的 有关；另一方面与点 的位置也有关，也就是，当 暂时固定时，因点 位置的不同，,,的大小也在变化如图4.2，当 暂时固定时，在点 附近，函数图像变化比较“慢”，对应的 较大；在 附近，函数图像变化比较“快”，对应的 较小于是，当 暂时固定时， ， ，有 无限多个 ，存在无限多个 ，那么在无限多个 中是否存在最小的正数呢？换句话说，对无限多个 是否存在一个通用的 （ 即 ，,图 4.2,有 ）呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的不存在通用的 ，有的存在通用的 。
定义 设函数 在区间 上有定义若 （通用的 ）， ，有 称函数 在 一致连续（或均匀连续） 根据一致连续的定义，若函数 在 一致连续，则函数 在 必连续事实上，将 固定，令 变化，即函数 在 连续因为 是 的任意一点，所以函数 在 连续 一致连续的否定就是非一致连续现将一致连续与非一致连续列表对比如下：函数 在区间,例1. 证明函数 在 一致连续，在 非一致连续 证明 要使不等式 成立从不等式 ,解得 取 于是， 有 即函数 在 一致连续有 即函数 在 非一致连续 例2. 证明：函数 在 一致连续 证明 ，要使不等式 成立。
取 于是， 有,即函数 在 一致连续 定理4.（一致连续性） 若函数 在闭区间 连续，则函数 在闭区间 一致连续 证法 应用反正法与致密性定理 证明 假设函数 在 非一致连续，即 有 取 ， 有,,， 有 ， 有 这样在闭区间 内构造两个有界数列 与 根据致密定理（§4.1定理5）.数列 存在收敛的子数列 ，设 因为 ，所以，也有,一方面，已知函数 在 连续，有 ， 即当 充分大时，有 另一方面， ，有 矛盾，即函数 在闭区间 一致连续。