1 教学研究论文教学研究论文 测量平差问题中必要观测数的确定 姚宜斌 邱卫宁 (武汉大学测绘学院卫星应用工程研究所，武汉珞喻路 129 号，430079) [提要] 本文根据课堂教学的经验，总结出测量平差问题中不同观测条件、不同图形条件下的必要观测值确 定的通用公式 [关健词] 测量平差；必要观测；多余观测； 为了保证观测结果的可靠性必须进行多余观测 由于观测误差的存在， 使得观测值之间 存在差异，平差的一个主要任务就是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果如果不存在 多余观测，则没必要进行测量平差，因此，平差问题存在的前提条件是有多余观测 测量平差中常用的函数模型包括条件平差模型、 附有参数的条件平差、 间接平差模型和 附有限制条件的间接平差模型，对于不同的平差模型，有： 条件平差 附有参数的条件平差间接平差 附有限制条件的间接平差 观测数 n n n n 必要观测数 t t t t 多余观测数 tnr−= tnr−= tnr−= tnr−= 所设参数数 0 tu 且包含t个独立 方程数 r ur + nur=+ snur+=+ 待求量数 n un + un + un + 方程形式 0=+ΔWA 0 ~ =++ΔWXBAlXB−=Δ ~ lXB−=Δ ~ 0 ~ =+ X WXC 上表中的符号含义与文献[1]相同，由上表可知，必要观测数t是一个非常重要的量，其 对参数个数的选择， 多余观测数的确定具有重要的意义。
依据所选择的参数的独立参数与必 要观测数t的对应关系，可界定所用的平差模型 对于不同的几何模型，其必要的起算数据包括： 必要的起算数据数说明 水准网 1 水准点高程 测角网 4 两点坐标或一点坐标、一条边长、一个方位角 2 测边网/边角网 3 一点坐标、一个方位角 在日常的测量数据处理中， 又包含两种情况， 一种是起算数据的个数多于必要的起算数 据数（但所提供的起算数据包含必要的起算数据，亦即起算基准足够） ，另外一种情况是起 算数据不够，这又分两种情况：其一是所提供的起算数据个数少于必要的起算数据数；其二 是虽然所提供的起算数据个数多于必要的起算数据数， 但所提供的起算数据不包含全部的必 要起算数据，亦即起算基准不够如果起算数据不够，在数据处理过程中，需假设部分起算 数据此时，对于，必要观测数t的判定，可按如下通用公式确定： 起算数据情况 必要观测数t 情 形 没有已知水准点或只有一个已知水准点 1−= pt S-1 水准网 多于一个已知水准点 qpt−−=1或 Qpt−= S-2 没有起算数据或必要起算数据不够或起算 数据刚好足够 42−=pt J-1 测角网 多于必要起算数据 qpt−−=42或 Qpt−= 2 J-2 没有起算数据或必要起算数据不够或起算 数据刚好足够 32−=pt B-1 测边网/边 角网 多于必要起算数据 qpt−−=32或 Qpt−= 2 B-2 上表中，p为总点数，q为多余起算数据数，Q为全部起算数据数。
下面通过几个示例对上述通用公式进行说明： 示例 1：如图 1 所示， 4321 PPPP、、、为待定点， 61 ~hh为观测高差 分析：示例 1 为一水准网，没有起算数据，需假定某点的高程为已知，属表中的 S-1 情 形，必要观测数应该等于总点数-1，即3141=−=−=pt 3 图 1 图 2 示例 2：如图 2 所示，CBA、、为已知水准点， 321 PPP、、为待定点， 61 ~hh为观 测高差 分析：示例 2 为一水准网，包含 3 个起算数据，属表中的 S-2 情形，必要观测数应该等 于待定点数，即336=−=−=Qpt 示例 3：如图 3 所示，BA、为已知点， 321 PPP、、为待定点， 131 ~∠∠为观测角 分析：示例 3 为一测角网，包含 4 个起算数据（BA、的坐标） ，属表中的 J-1 情形， 必要观测数645242=−×=−=pt 图 3 图 4 示例 4：如图 4 所示，A为已知点， 4321 PPPP、、、为待定点， 121 ~ ∠∠为观测角 分析：示例 4 为一测角网，包含 2 个起算数据（A的坐标） ，起算数据不够，属表中的 J-1 情形，必要观测数645242=−×=−=pt。
示例 5：如图 5 所示，CBA、、为已知点， 321 PPP、、为待定点， 121 ~ ∠∠为观测 角 分析：示例 5 为一测角网，包含 6 个起算数据（CBA、、的坐标） ，有多余起算数据， 属表中的 J-2 情形，必要观测数66622=−×=−=Qpt 4 图 5 图 6 示例 6： 如图 6 所示， 21 ~~ αα、为已知方位角， 54321 PPPPP、、、、为待定点， 131 ~∠∠ 为观测角 分析：示例 6 为一测角网，包含 2 个起算数据（ 21 ~~ αα、） ，虽然起算数据个数不够， 但仍然有多余起算数据（ 21 ~~ αα、中只有一个是必要起算数据） ，属表中的 J-2 情形，此时需 要额外假定 3 个起算数据（一个点的坐标和一条边长） ，在假定了 3 个起算数据后，全部起 算数据数5=Q，必要观测数55522=−×=−=Qpt 示例 7：如图 7 所示， 0 ~ s为已知边， 654321 PPPPPP、、、、、为待定点， 161 ~∠∠为 观测角 分析：示例 7 为一测角网，包含 2 个起算数据（ 21 ~~ αα、） ，起算数据不够，需要额外 假定 3 个起算数据（一个点的坐标和一个方位角） ，属表中的 J-1 情形，必要观测数 846242=−×=−=pt。
图 7 图 8 示例 8：如图 8 所示，BA、为已知点， 0 ~ α为已知方位角， 554321 PPPPPP、、、、、为 待定点， 211 ~ ∠∠为观测角 分析： 示例 8 为一测角网， 包含 5 个起算数据 （BA、的坐标和 0 ~ α） ， 有多余起算数据， 5 属表中的 J-2 情形，必要观测数95722=−×=−=Qpt 示例 9：如图 9 所示，BA、为已知点， 0 ~ α为已知方位角， 21 PP、为待定点， 51 ~ss 为观测边 图 9 图 10 分析： 示例 9 为一测边网， 包含 5 个起算数据 （BA、的坐标和 0 ~ α） ， 有多余起算数据， 属表中的 B-2 情形，必要观测数35422=−×=−=Qpt 示例 10：如图 10 所示 6554321 PPPPPPP、、、、、、为待定点， 31 ~ss为观测边 分析：示例 10 为一边角网，没有起算数据，需要额外假定 3 个起算数据（一个点的坐 标和一个方位角） ，属表中的 B-1 情形，必要观测数936232=−×=−=pt 从以上示例分析可知， 本文根据实际教学的经验， 总结出测量平差问题中不同观测条件、 不同图形条件下的必要观测值确定的通用公式具有普遍适用性， 图表简洁清晰， 归纳问题全 面，这对于更好地掌握测量平差的基本理论和方法，正确应用平差模型具有很好的价值，可 以推广应用。
参考文献 1． 武汉大学测绘学院测量平差学科组． 误差理论与测量平差基础， 武汉大学出版社， 2003.1 2． 武汉大学测绘学院测量平差学科组． 误差理论与测量平差基础习题集， 武汉大学出版社， 2005.3 Determination of Essential Observations in Survey Adjustment Yao Yibin Qiu Weining （1 Institute of Satellite Application, School of Geodesy and Geomatics, WHU，129 Luoyu Road，Wuhan， China，430079） Abstract According to the experience of the classroom education, the general formula of determination of essential observations in survey adjustment under the different observation condition and the different graph condition are summarized. Key words Surveying Adjustment；Essential Observations；Unnecessary Observations 6 作者简介：姚宜斌，1976 年 1 月生，博士，副教授，汉族，湖北宜都人，现主要从事高 精度 GPS 数据分析理论和方法研究。
联系：13349959966 E-mail：ybyao@ 作者简介：邱卫宁，1956 年 2 月生，教授，汉族，四川梁平人，现主要从事工程测量及数 据处理研究联系：027-87212434-8003 E-mail：wnqiu@ 联系人的单位及详细地址: 姓名：姚宜斌 单位：武汉大学测绘学院卫星应用工程研究所 地址：武汉市珞喻路 129 号 邮编：430079 身份证号码：422701197601220313 。