函数性质目录【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测【应试 总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称【题型三】轴对称【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性【题型五】画图：类周期函数【题型六】恒成立和存在型问题【题型七】嵌套函数高考预测概率预测 题型预测选择题、填空题 考向预测函数图像的画法与零点问题应试 函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟练于心，才能保证做题的速度与准确度误区点拨易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题若 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当 h(x)=m 时，则 f(x)关于点(0,m)中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了 m 个单位，即 f(x)+f(-x)=2f(0)=2m；当 h(x)w m 时,则有 f(x)+f(-x)=2h(x).推论 若 f(x)=g(x)+m,则 f(x)m ax+f(x)m in=2 f(0)=2m.例(1)已知 f(x)=ax+2,则 f(ln3)+f (In-)=4.x 3(2)已知 f(x)=a x+P-c s in x+3,则 f(ln3)+f (In )=6.x 3(3)已知函数f(x)=ln(Vl+x2-x)+2，则f(lg5)+f(lg 1)=4.(4)已知函数f(x)=ln(71+9X2-3X)+1，则 f(lg2)+f(l g|)=2.注 意 辨别奇函数g(x)和常数项m 后直接用f(x)+f(-x)=2f(0)=2 m 来破解.变 式 1：(2024.浙江绍兴.二模)己知定义在R 上 的 函 数 在 区 间 -1,0 上单调递增,且满足/(4-力=/,/(2-x)=-/(%),贝 I J ()10A.=0 B./(0.9)+/(1.2)/(lo g280)D.s in l)/n j变式2：(2024 广西二模)已知定义在R 上 的 函 数 满 足/(2+x)2-x)=4x.若“2彳-3)的图象关于点(2,1)对称，且 0)=0,则()A.x)的图象关于点(U)对称B.函数g(x)=x)-2 x 的图象关于直线尤=2对称C.函数g(x)=/(x)-2 x 的周期为2D./(1)+/(2)+5 0)=2499 2,则的取值范围为.【例 2】(多 选)(2024 重庆模拟预测)函数X)=2：21g )=ln(jl+9 f _3,那 么()A./(x)+g(x)是偶函数C.g )“X)是奇函数B.办 g(x)是奇函数D.g(7(x)是奇函数【例 3】(多 选)(2024湖南娄底一模)已知函数 x)的定义域和值域均为 x U#0,x e R ,对于任意非零实数尤,尤+y 3 0,函 数 满 足：/(x+y)(/(x)+/(y)=/(%)/(),且 x)在(一双0)上单调递减,/(1)=1,则下列结论错误的是()2023B.Z=1=22023-2c./(x)在定义域内单调递减D.y(x)为奇函数名校模拟【变 式 1(2024.江西上饶.二模)定义在R上的奇函数 x)满足/(2-x)=f(x),且在 0,1 上单调递减,若方程 x)=l 在(T 0 上有实数根，则 方 程/(力=-1在区间 3,11 上所有实根之和是()A.28 B.16 C.20 D.12【变式2(2024全国模拟预测)函数 x)=的部分图象为()2+【变式3 (2024.上海徐汇.二模)已知函数y=/(x),其中/(x)=b g i三.求证：y=/(x)是奇函数；(2)若关于x 的 方 程/=log1(尤+人)在区间3,4上有解，求实数k的取值范围.2【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称1.三角函数的对称中心(对称轴)有无数个，适当结合条件确定合适。
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点 I典例精讲【例 1】(2024全国模拟预测)已知函数/(x)=e2 i-e f +s in g x-+1,则不等式/(2x+l)+/(2-x 2 的解集为()A.(8,2 B.2,+cc)C.2,2 D.2,+co)【例 2】(2024.湖南.模拟预测)已知函数力满足尤+8)=/(%),/(%)+/(8-x)=0,当年 0,4)时,/(x)=lnl+si吟 X)则函数万(x)=3x)-“X)在(0,8)内的零点个数为()A.3 B.4 C.5 D.6 名校模拟【变 式 1(多 选)(2024.江苏.一模)已知函数 x)=K，则()2-cos2xA.x)的最小正周期为兀 B.x)的图象关于点(私0)对称C.不等式/(x)x 无解 D.的最大值为孝【变式2(2024.河南.一模)已知函数尤)及其导函数尸(x)的定义域均为R,记 g(x)=/(x).且2024/(l-3 x)+/(3x-l)=0,g(l+x)+g(l-x)=0,当/(x)=s in x,贝|士|/)|=_ _ _ _ _.(用数字作2 z=i答)【题型三】轴对称数学语言：1.函数f（x）对于定义域内任意实数X满足 a+x）=/W-x）,则 函 数/关 于 直 线 无=答 对 称，特别地当 x）=/（2 a-x）时，函数/（X）关于直线无=。
对称;2.如果函数y=/（x）满 足 f（a+x）=f（a-x）,则 函 数 y=/（*）的 图 象 关 于 直 线”=对称.3.y=于（a%）与 y=（%-关于直线x=对称常见的偶函数：偶函数:函数/函 数/（x）=log/aH +l）_登.函 数/（类型的一切函数.典例精讲【例 1】（多选）（23-24高三下.山东荷泽阶段练习）已 知 函 数 的 定 义 域 为 R,且/（x+y）-/（x-y）=产 产（力/（1）=2,X+1）为偶函数，贝 （）A./（3）=2 B./（X）为奇函数2024C./（2）=0 D.Z/（幻=k=l【例 2】（2024宁夏银川二模）定义域为R 的函数,满足/（x+2）为偶函数，且当不 马 0 恒成立，若 a=/（l）,b=f（lnl0）,c=y（3j）,则 a,b,c 的大小关系为（）A.a b c B.c b a C.b a c D.c a b【例 3】（2024全国模拟预测）设 x）是定义域为R 的偶函数，且/（2x+l）为奇函数.若/1）=g,，|=T皿/2023、/2 0 2 3、，、A.-B.6 6 名校模拟【变 式 1（2024全国.模拟预测）若定义在R 上的函数 x）满 足 川 x|）=f（,且 2+x）+2 x）=6,3）=6,则下列结论错误的是（）c-4D-iA.8+x)=/(x)C.201)=3B.x）的图象关于直线x=4对称D.y=x+2）-3是奇函数【变式2 (多选)(2024全国模拟预测)已知函数y=(x+l)为偶函数,ja/(l-x)=/(x+3),当时，/(x)=2-2 贝 U ()A.的图象关于点(1,0)对称 B.的图象关于直线x=2对称C.的最小正周期为 2 D./(1)+/(2)+-+/(30)-1【变式3 (多 选)(2024河 北 邢 台.一 模)已 知 函 数 和 函 数 g(x)的定义域均为R,若 2 x-2)的图象关于直线x=l 对称，g(x)=f(x+l)+x-l,g(x+l)+f(-x)=x+2,且 4 0)=0,则下列说法正确的是()A.x)为偶函数B.g(x+4)=g(x)C.若 在 区 间(0,1)上的解析式为/W =log2(%+l),则/在 区 间(2,3)上的解析式为y(x)=i-iog2(x-i)20D.=210i=l【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性基本规律关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论1.若函数有两个对称中心(a,0)与(b,0),则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与 x=b,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|3.若函数有一个对称中心(a,0)与一条对称轴x=b,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|I I典例精讲【例 1】(2023 浙 江 一 模)设函数y=的定义域为R,且/(x+1)为偶函数，”尤-1)为奇函数，当x e-1,12023时，/(x)=l-x2,则 左)=.k=l【例 2】(2024陕西西安二模)已知函数/(x)满 足/(x+y)=/(x)+/(y)+2 q,；则八1 0 0)=.【例 3】(多 选)(2023江西模拟预测)设函数 x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xel,2时，/(x)=a-log2x.则下列结论正确的是()A./(1)=1 B./(8)=-1206 100c.Z%)=T D.优)=50k=l k=I1名校模拟【变 式 1 (多 选)(2024.吉林白山.二模)己知函数/(x)的定义域为R,其图象关于(L2)中心对称，若一 =则()4A.八 2 3力+/(3力=4 B.f(x)=f(x-4)20C.7(2025)=046 D./(z)=-340i=l【变式2 (多 选)(2024.广东韶关二模)已知定义在R 上的函数/(x),g(力的导函数分别为(,g(x),且 x)=/(4 x),/(l +x)-g(x)=4,/,(x)+g,(l+x)=0,则()A.g(x)关于直线x=l 对称 B.g =1C.尸(x)的周期为 4 D.尸()H 5)=0(e Z)【变式3(2024.全国.模拟预测)已知定义在R 上 的 函 数 的 图 象 关 于 点(1,0)对称，“x+l)+x+2)=0,13且当xe 0,-时，/(x)=-+log2(3x+l).若八租+1)-=,则实数机的取值范围为()_ ，X+1 2A.（24+；,2 +：）（左 e：C.（4 一/,/+/（左 e Z）B.一；，左 一g(左 e z)D.2*-|,2 +|W e Z）【题型五】画图：类周期函数基本规律“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析:1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大(缩小)时，要注意是否函数值有03.放大(缩小)时，是否发生了上下平移典例精讲【例 1】定义：若存在非零常数鼠T,使得函数式尤)满足/0+/(尤)+左对定义域内的任意实数无恒成立，则称函数八尤)为*距周期函数“，其 中 T称为函数的“类 周 期 则()A.一次函数均为常距周期函数”B.存在某些二次函数为 距周期函数”C.若“1 距周期函数比x)的“类周期”为 1,且/=1,贝：加尸尤D.若 g(x)是周期为2 函数，且函数yu)=x+g(x)在0,2上的值域为0,1,则函数y(x)=x+g(x)在区间2,2+2上的值域为?，2+1名校模拟【变 式 1】定义“函数y=/（x）是级类周期函数”如下：函数y=x）,x e D,对于给定的非零常数总存在非零常数T,使得定义域内的任意实数X都有4（X）=/（X+T）恒成立，此时T 为 X）的周期.若 y=x）是1，内）上的“级类周期函数，且 7=1，当x el,2）时，x）=2x+l,且 y=x）是1,+向上的单调递增函数，则实数的取值范围为（）A.B.2,+co）C.g+s D.10,+oo）【变式2】（多选）（2023 山东济南模拟预测）已 知 函 数 定 义 域 为 R,满足f（x+2）=；/（无），当-时,x）=|x|.若函数y=x）的图象与函数g（x）=-2023x 相 o/(%)m.(2)3xe D,/(x)m O /(x)max m；(3。