第三十二课时：复数的概念（一）【教学目标】知识目标：理解复数的有关概念．能力目标：通过复数概念的学与相关计算，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】复数的概念．【教学难点】复数的概念．【教学设计】首先给出了复数的定义，然后引入虚数、纯虚数的定义，将实数集推广到复数集．介绍复数（）的概念时，要注意以下几点：（1）复数的虚部是，而不是，如教材中复数的虚部是，而不是．（2）当虚部时，复数就是实数.当虚部时，复数是虚数，特别时，虚数是纯虚数.（3）（）中的“”号有两种作用，第一个作用是连接记号，表示是一个整体，由实数和纯虚数组成复数；第二个作用是运算符号表示实数和纯虚数相加．例1的作用是帮助学生理解概念．这部分内容学生了解即可，不需要特别强化训练，不介绍关于数系讨论问题的解题技巧．教学中要把握难度，不超过教材的例、题的难度．讲解复数相等的定义时要强调ii等价于且，只有当，这两个条件同时成立时i才能等于i. 复数的共轭复数是．要注意它们的特征：实部相等，虚部互为相反数，教学中可引导学生得出：实数的共轭复数就是它本身．例2的作用是帮助学生理解复数相等的定义．教学中要讲清楚解题的基本思想，分清等号两边复数的实部与虚部，利用复数相等的概念，由“实部与实部相等，虚部与虚部相等”列出一个二元一次方程组，最后求出未知数、的值．例3的作用是帮助学生理解共轭复数的概念．要强调互为共轭的两个复数，其实部相等，虚部互为相反数．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境 兴趣导入我们知道一元二次方程在实数范围内无解．更一般地，当根的判别式时，一元二次方程（其中为实数且）在实数范围内也无解.动脑思考 探索新知为了使方程有解，引进一个新数i，叫做虚数单位，并且规定数i有如下性质：（1）i的平方等于－1，即 （2）i与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算法则和运算律仍然成立.由性质（1）知，是方程的一个解．由性质（2）知，，故也是方程的一个解.【注意】为了与表示电流强度的符号相区别，电学中虚数单位用字母表示.根据上述性质，可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作（规定），再将与实数a相加，动脑思考 探索新知为了使方程有解，引进一个新数i，叫做虚数单位，并且规定数i有如下性质：（1）i的平方等于－1，即 （2）i与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算法则和运算律仍然成立.由性质（1）知，是方程的一个解．由性质（2）知，，故也是方程的一个解.【注意】为了与表示电流强度的符号相区别，电学中虚数单位用字母表示.根据上述性质，可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作（规定），再将与实数a相加， （转下节）第三十三课时：复数的概念（二）【教学目标】知识目标：理解复数的有关概念．能力目标：通过复数概念的学与相关计算，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】复数的概念．【教学难点】复数的概念．【课时安排】1课时．【教学过程】 （接上节）根据上述性质，可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作（规定），再将与实数a相加由于满足加法交换律，其和一般写作.形如（）的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部.复数一般使用小写字母等来表示.例如，复数的实部为，虚部为.当虚部时，复数就是实数.当虚部时，复数叫做虚数，特别时虚数叫做纯虚数.例如，，，都是复数，其中是实数，是虚数，是纯虚数. 【想一想】 ，的实部、虚部各是多少？全体复数组成的集合叫做复数集，常用大写字母C来表示，即.显然，实数集R是复数集C的真子集.引入复数后，数的范围得到扩充：巩固知识 典型例题例1 下列复数的实部和虚部，并判定它们是实数还是虚数？如果是虚数是否为纯虚数？(1)；(2)；(3)．解 (1) 的实部，虚部，它是虚数，但不是纯虚数；(2) 的实部，虚部，它是实数；(3) 的实部，虚部，它是虚数，且是纯虚数.动脑思考 探索新知如果两个复数（）与（）的实部与虚部分别相等，那么称这两个复数相等.记作，即 . （3.1） 特别地 (3.2)巩固知识 典型例题例2 已知其中x，y是实数，求x和y的值．解 根据公式(3.1) ，得解方程组得x＝3，y＝2．例3 求复数的共轭复数.解 ，，.运用知识 强化练1. 下列复数的实部和虚部：(1)； (2) 2.求下列复数的共轭复数：(1) ； (2) .继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材(2)书面作业：教材题3．1（必做）；学与训练训练题3．1（选做） 第三十四课时：复数的几何意义 （一）【教学目标】知识目标：（1）理解复数的几何意义 ．（2）会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式．能力目标：通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学，使学生的计算技能得到锻炼和提高．【教学重点】（1）复数的几何表示．（2）复数的三角形式、指数形式、极坐标形式. 【教学难点】复数的代数形式转化为三角形式．【教学设计】在讲解复平面和复数的几何表示时，自然的建立了复数与直角坐标平面内的点Z（）之间的一一对应关系，于是复数（）可以用直角坐标系平面中的点表示．建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴， 实轴上的点都表示实数，虚轴上除去原点以外的点都表示纯虚数．要特别强调虚轴不包括原点，虚轴的单位与实轴一样都是1．复平面与复数的点表示是复数的向量表示的基础．例4是理解复平面的实际操作训练题．例5是用向量表示复数的知识巩固性题目．包含了与坐标轴平行和不平行的情况．例6介绍了求复数（）的模与辐角的方法．将复数的代数形式化为三角形式，关键是求出复数的模和辐角．有了例6的铺垫，进行这种转化的例7，就比较容易完成了．要注意依照教材规范解题的步骤进行规范． 将三角式化为代数式，只需按照分配律计算出结果．例8给出了具体的步骤，要引导学生独立完成．在计算中要帮助学生复三角函数诱导公式．【课时安排】1课时．【教学过程】动脑思考 探索新知1.复数的点表示任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示．例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示（如图3-1）． 图3-1由复数相等的定义知，任何一个复数都对应唯一的有序实数对(a，b)，其中a，b分别为复数z的实部和虚部，而有序实数对(a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z ，其坐标为(a，b)，如图3-2所示.反之，对直角坐标平面内的每一点Z(a，b)确定的唯一的有序实数对(a，b)，如果a，b分别看作复数z的实部和虚部，那么就对应唯一的复数. 这样，就建立了复数与直角坐标平面内的点Z(a，b)之间的一一对应关系，即每一个复数都对应直角坐标平面内的一个点，直角坐标平面内的每一个点也对应一个复数.xbaＯZ(a,b)图3-2于是，复数可以用直角坐标系中的点Z(a，b)表示.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（如图3-2）． 在复平面内，x轴上的点都表示实数，y轴上除去原点以外的点都表示纯虚数，因此，一般将x轴称为实轴，y轴称为虚轴.巩固知识 典型例题例4 用复平面内的点表示复数：解 如图3－3所示，表示复数的点是，复数对应的点是，复数对应的点是，复数对应的点是.图3-3 第三十五课时：复数的几何意义 （二）【教学目标】知识目标：（1）理解复数的几何意义 ．（2）会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式．能力目标：通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学，使学生的计算技能得到锻炼和提高．【教学重点】（1）复数的几何表示．（2）复数的三角形式、指数形式、极坐标形式. 【教学难点】复数的代数形式转化为三角形式．【课时安排】1课时．【教学过程】动脑思考 探索新知2.复数的向量表示在建立了平面直角坐标系的平面内，每一个位置向量（即以原点为起点的向量）都与它的终点一一对应，该向量的坐标等于它的终点坐标.如图3－4所示，设复平面内的点Z（a，b）表示复数以原点O为始点，点Z为终点作位置向量，那么向量由点Z唯一确定；反之，点Z（a，b）（即复数）也可以由向量唯一确定. 于是复数与向量之间具有一一对应关系（复数0与零向量对应），因此，复数可用向量表示．xoyZ(a,b)ab巩固知识 典型例题例5 用向量表示下列复数：图3-5解 如图3－5所示，向量分别表示复数运用知识 强化练图中各点所表示的复数．继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材题3．1（必做）；学与训练训练题3．1（选做）第三十六课时：复数的三角形式（一）【教学目标】知识目标：会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式．能力目标：通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学，使学生的计算技能得到锻炼和提高．【教学重点】（1）复数的几何表示．（2）复数的三角形式、指数形式、极坐标形式. 【教学难点】复数的代数形式转化为三角形式．【课时安排】1课时．【教学过程】动脑思考 探索新知复数的三角形式观察图3−4，表示复数的向量，可以由向量的大小（模）与方向（与x轴正方向所成的角）来确定．向量的模叫做复数的模（如图3－6），记做或，即． （3.3）特别地，当b=0时，z=a，于是此时z的模等于实数a的绝对值.a图3-6xoyZ(a,b)br当复数时，以实轴的正半轴为始边，向量为终边的角叫做复数的辐角（如图3－6）．非零复数的辐角都有无穷多个，其中区间内的辐角叫做辐角主值，记作.当复数时，辐角可以由对应点的位置确定，分为如下两种情况：（1）当点在某个象限内时，其辐角可以由和点所在的象限确定；（2）当点分别在正半实轴、负半实轴、正半虚轴或负半虚轴上时，其辐角分别为0、、或.当复数时，对应的向量是零向量，辐角可以取任意值. 【想一想】如果复数中，，那么当及时，复数的辐角主值各是多少？巩固知识 典型例题例6 求下列各复数的模与辐角主值．（1）； （2）；（3）； （4）．解 （1）由知点在第一象限，故辐角为第一象限的角．所以 ． 又 ，所以 ．（2）由知点在第四象限，故辐角为第四象限的角．所以 ． 又 ，所以 ．（3）由知点在第三象限，故辐角为第三象限的角．所以 ． （转下节） 第三十七课时：复数的三角形式（二）【教学目标】知识目标：会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式．能力目标：通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学，使学生的计算技能得到锻炼和提高．【教学重点】（1）复数的几何表示．（2。