三垂线定理一、 基础知识1、斜线长定理——从平面外一点所引的垂线段和斜线段中①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短2、直线与平面所成的角一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角3、三垂线定理及逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理：在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直其主要作用有：①证明问题：如线线、线面、面面垂直的证明；②计算问题：如求空间一点到平面内某一直线的距离；求两平行直线间的距离求作二面角平面角及其计算二、 题型剖析：例1、如图，直线AB与直二面角的两个半平面分别交于A、B两点，且A、B，如果直线AB与所成的角分别是，则的取值范围是 。
简解：AC于C，BD于D，则，， ,均为锐角,故例2、四面体ABCS中，SB，SA，SC两两垂直，，，M为AB的中点，求⑴BC与平面SAB所成的角；⑵SC与平面ABC所成角的正弦值解：（1）,平面SAB，故SB是斜线BC（在平面SAB）的射影,是直线BC与平面SAB所成的角（2）中，，M是AB中点,又，平面SCM，作于H，则，故平面ABC所以为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为例3、已知三棱柱的侧棱与底面成角，底面是等边三角形，侧面是菱形且与底面垂直求证：证明：就是侧棱与底面ABC所成的角又是菱形，是中点又是正三角形，思维点拨：利用三垂线定理是证明两异面直线垂直的常用方法例4、如图：三棱锥中，侧面VBC且H是的重心，BE是VC边上的高（1）求证：（2）若二面角的大小是，求VC与平面ABC所成角的大小证明：（1）（三垂线定理）（2）由(1)得就是二面角的平面角,又AB平面VCD所以VC在平面ABC内的射影CD, 就是VC与平面ABC所成角在Rt中，得VC与平面ABC成角练习：P352变式，见课本例5：如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。
证明： ∵O是ΔABC的垂心，∴BC⊥AE ∵PA⊥平面ABC，根据三垂线定理得BC⊥PE∴BC⊥平面PAE∵Q是ΔPBC的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，∴OQ⊥BC∵PA⊥平面ABC，BF平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是ΔABC的垂心，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC因而FM是BM在平面PAC内的射影因为BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM又OQ平面BFM，所以OQ⊥PC 综上知 OQ⊥BC，OQ⊥PC，所以OQ⊥平面PBC 思维点拨：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理例6、A是BCD所在平面外一点，ABD=ACD，AB=AC，E是BC的中点，求证：（1）ADBC（2）A点在平面BCD内的射影在BCD外见成才之路P352例4）证明：（1）因为AB=AC，E是BC中点，所以BCAE，在ABD、ACD中， ABD=ACD=，AB=AC，AD=AD，所以ABDACD，于是BD=DC，因为E是BC的中点，所以BCED，由BCAE，BCED，AEED=E，所以BC平面AED，因为AD平面ADE，所以ADBC（2）因为，，，所以，所以是钝角，因为A点的射影在直线DE上，所以结论成立。
三、 小结三垂线定理及逆定理的应用四、作业ex7,8 ex7,8- 3 -用心 爱心 专心。