第五章 金属电子论5.7 电子和声子的相互作用金属电阻率与温度的关系由金属电导率，得到金属电阻率公式为由金属电导率，得到金属电阻率公式为金属的电阻率正比于金属的电阻率正比于1/1/，电阻起源于散射，包括电，电阻起源于散射，包括电子散射和杂质散射声子散射与温度有关，而杂质子散射和杂质散射声子散射与温度有关，而杂质散射产生的是与温度无关的剩余电阻散射产生的是与温度无关的剩余电阻一、随时间变化的微扰势T=0T=0时，晶体严格的周期势可以写为时，晶体严格的周期势可以写为其中其中V(r-R V(r-R l l) )是是R R l l各位的离子局域势当各位的离子局域势当T T不等于不等于0 0时，晶格振动导致偏离周期势，对单电子态的微扰时，晶格振动导致偏离周期势，对单电子态的微扰势为：势为：将微扰势做展开，有将微扰势做展开，有为了简单起见，考虑简单晶格，只有声学波声子为了简单起见，考虑简单晶格，只有声学波声子格波的实数形式为格波的实数形式为其中其中AqAq为振幅，为振幅，e e为偏振方向单位矢量，为偏振方向单位矢量，e e垂直垂直q q为横为横波，波，e e平行平行q q为纵波这样可以得到一个为纵波。
这样可以得到一个q q，(q)(q)格波格波对微扰势的贡献：对微扰势的贡献：这是一个随时间变化的微扰势这是一个随时间变化的微扰势二、散射概率(k,k)根据量子力学围绕理论，一个随时间变化的微扰将根据量子力学围绕理论，一个随时间变化的微扰将引起本征态之间的跃迁，从引起本征态之间的跃迁，从k k态到态到k k态的跃迁概率态的跃迁概率为：为：1.能量守恒在在5.7.75.7.7中的中的函数保证散射过程是能量守恒的，即函数保证散射过程是能量守恒的，即吸收或湮没声子吸收或湮没声子发射或产生声子发射或产生声子根据德拜理论，最大声子能量为：根据德拜理论，最大声子能量为：而散射主要发生在费米面附近，电子的能量为而散射主要发生在费米面附近，电子的能量为所以散射可以看作近弹性散射所以散射可以看作近弹性散射2.动量守恒计算吸收和发射声子的矩阵元，可以得到动量守恒计算吸收和发射声子的矩阵元，可以得到动量守恒条件吸收和发射声子的矩阵元可以统一写为：条件吸收和发射声子的矩阵元可以统一写为：其中，其中，为布洛赫波为布洛赫波这样，这样，5.7.95.7.9为：为：其中其中 且且积分积分I I正比于正比于 V V的数量大小，对于金属而言，周期势的数量大小，对于金属而言，周期势是一个平缓的势场，是一个平缓的势场， V V较小，散射较弱，电导率较较小，散射较弱，电导率较大。
由大由5.7.115.7.11可见散射矩阵元只在下列准动量守恒时可见散射矩阵元只在下列准动量守恒时不为零3.正常N过程和倒逆U过程如果在电子声子互作用的准动量守恒条件如果在电子声子互作用的准动量守恒条件5.7.145.7.14中取中取K Kh h=0=0，那么：，那么：它表示在吸收和发射声子过程中，电子正好增加或它表示在吸收和发射声子过程中，电子正好增加或者减少一个声子的准动量者减少一个声子的准动量k,k,qk,k,q均在第一布里渊区均在第一布里渊区，如图所示，这种过程对应于小角散射，称为，如图所示，这种过程对应于小角散射，称为N N过程过程由散射过程的动量守恒，容易得到：由散射过程的动量守恒，容易得到：对于简单单价金属，按照自由电子模型，有对于简单单价金属，按照自由电子模型，有而在德拜模型下，最大的声子波矢而在德拜模型下，最大的声子波矢可以得到可以得到但是对于但是对于N N过程，过程， 可以得到散射角可以得到散射角满足满足如果在动量守恒条件中取如果在动量守恒条件中取 则则这是这是, k-k, k-k已经落在第一布里渊区以外，它对应于大角已经落在第一布里渊区以外，它对应于大角度散射，称为度散射，称为U U过程。
过程实际上，当费米球失分接近于布里渊区边界时，小的实际上，当费米球失分接近于布里渊区边界时，小的声子波矢声子波矢q q就可以导致就可以导致U U过程的发生这个最小的波过程的发生这个最小的波矢对应于区界处两个费米球之间的最小间距矢对应于区界处两个费米球之间的最小间距q qmm, , 相应相应的声子能量为的声子能量为h hm m，所以对声学波声子而言，只有当，所以对声学波声子而言，只有当温度温度T T h hm m/k/kB B时，这种散射过程才被时，这种散射过程才被“冻结冻结”综上所述，将散射概率写为：综上所述，将散射概率写为：其中其中+ -+ -分别代表了吸收和发射声子的散射过程分别代表了吸收和发射声子的散射过程三、电阻率的温度关系为了简单起见，只限于讨论各向同性、近似弹性散射为了简单起见，只限于讨论各向同性、近似弹性散射的的N N过程因此每个从过程因此每个从 的跃迁值在的跃迁值在 费米球面上发生在散射过程中，声子可以被吸收，费米球面上发生在散射过程中，声子可以被吸收，也可以被发射对于简单晶格，应该有也可以被发射对于简单晶格，应该有3N3N个独立的声个独立的声学波声子模式，而每个波矢学波声子模式，而每个波矢q q对应于对应于3 3个模式（个模式（2 2横横1 1纵纵）。
因为振动模式相互正交的，可以独立计算它们的）因为振动模式相互正交的，可以独立计算它们的影响这样摸个独立模式对应的跃迁概率由影响这样摸个独立模式对应的跃迁概率由5.7.225.7.22可可以写为：以写为：式中与温度有关的量为格波振幅的平方式中与温度有关的量为格波振幅的平方|Aq|Aq|2 2，它可以，它可以由简正模的平均能量来估计，每个格波的动量为由简正模的平均能量来估计，每个格波的动量为对时间求平均为对时间求平均为得到得到忽略纵波与横波波速的差别，在德拜模型下，有色散忽略纵波与横波波速的差别，在德拜模型下，有色散关系得到：得到：考虑所有格波模式的贡献，由考虑所有格波模式的贡献，由5.6.155.6.15得到得到在积分中改换以能量在积分中改换以能量E E代替代替k k为积分变数，得到为积分变数，得到I I一般为一般为V V的数量级，而的数量级，而 所以所以大约为电子伏特的量级大约为电子伏特的量级下面分别讨论高温和低温极限下的情况下面分别讨论高温和低温极限下的情况1. 在高温情况下：式式5.7.305.7.30得到：得到：可见可见 ，电阻率正比于温度的一次方电阻率正比于温度的一次方2. 低温情况当当 ，只有那些小波矢的声子才能参与散，只有那些小波矢的声子才能参与散射事件。
必须考虑散射角的影响由于散射角很小射事件必须考虑散射角的影响由于散射角很小，我们有：，我们有：由由5.7.305.7.30得到：得到：令令因此，低温下，电阻率正比于因此，低温下，电阻率正比于T T5 5变化，称为布洛赫变化，称为布洛赫T5T5次方定律次方定律对于球形费米面，能态密度对于球形费米面，能态密度与式与式5.7.305.7.30比较，可见比较，可见1/1/比例于费米面处的有效质比例于费米面处的有效质量，根据能带理论，过渡金属量，根据能带理论，过渡金属d d带很窄，有很高的带很窄，有很高的有效质量和能态密度，因此可以理解过渡金属具有有效质量和能态密度，因此可以理解过渡金属具有高电阻率的事实高电阻率的事实。