学 海 无 涯 第八章 电磁感应 电磁场 8 1 一根无限长平行直导线载有电流I，一矩形线圈位于导线平面内沿垂 直于载流导线方向以恒定速率运动（如图所示），则（ ） 线圈中无感应电流 线圈中感应电流为顺时针方向 线圈中感应电流为逆时针方向 线圈中感应电流方向无法确定,,分析与解 由右手定则可以判断，在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里，磁场 是非均匀场，距离长直载流导线越远，磁场越弱因而当矩形线圈朝下运动 时，圈中产生感应电流，感应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判 定因而正确答案为（B） 8 2 将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过 两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则（ ） 铜环中有感应电流，木环中无感应电流 铜环中有感应电流，木环中有感应电流 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大 分析与解 根据法拉第电磁感应定律，铜环、木环中的感应电场大小相等， 但在木环中不会形成电流因而正确答案为（A） 8 3 有两个线圈，线圈1 对线圈2 的互感系数为M21 ，而线圈2 对线圈1,1,,,,,,,学 海 无 涯 的互感系数为M12 若它们分别流过i1 和i2 的变化电流且 di1 di2 ，并 dtdt 设由i2变化圈1 中产生的互感电动势为12 ，由i1 变化圈2 中产生 的互感电动势为21 ，下述论断正确的是（ ） （A） M12 M21 ， 21 12 （B） M12 M21 ， 21 12,,（C） M12 M21 ， 21 12 （D） M12 M21 ， 21 12,,,,2121 dt,分析与解 教材中已经证明M21 M12 ，电磁感应定律 M,di1 ；,,,, Mdi2 因而正确答案为（D） 1212 dt 8 4 对位移电流，下述四种说法中哪一种说法是正确的是（ ） 位移电流的实质是变化的电场 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷 位移电流服从传导电流遵循的所有定律 位移电流的磁效应不服从安培环路定理 分析与解 位移电流的实质是变化的电场变化的电场激发磁场，在这一点 位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从 焦耳热效应、安培力等定律因而正确答案为（A） 8 5 下列概念正确的是（ ） 感应电场是保守场 感应电场的电场线是一组闭合曲线 m LI ，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 m LI ，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线因而 正确答案为（B） 8 6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为,2,学 海 无 涯 8.0 105 sin 100 t Wb，求在t 1.0 102 s 时，线圈中的感应电动 势 分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应 电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成,,,dtdt,dd, N ，其中 N 称为磁链,解 线圈中总的感应电动势,,d, N 2.51cos100 t,dt 当t 1.0 102 s 时， 2.51V 8 7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反,,dI,的电流，且电流均以的变化率增长若有一边长为d 的正方形线圈与两,dt 导线处于同一平面内，如图所示求线圈中的感应电动势,,,,dt,3,d,分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律 来求解由于回路处在非,,S,均匀磁场中，磁通量就需用 B dS 来计算（其中B 为两无限长直电流,单独存在时产生的磁感强度B1 与B2 之和） 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系由于B 仅与x 有关，即 B B(x) ， 故取一个平行于长直导线的宽为x、长为d 的面元S，如图中阴影部分所 示，则dS ddx ，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS dxdy ，,学 海 无 涯 则上述积分实际上为二重积分）本题在工程技术中又称为互感现象，也可,,dl,用公式 EM M dt 求解 解1 穿过面元S 的磁通量为,,,2x,0 I 2x d ,ddx 0 I ddx,d B dS B1 dS B2 dS 因此穿过线圈的磁通量为,,,,24,0,0, Id3,2x, Id,0 Id,2d,d,2d,d,dx ,dx ,2x d , d ,,,ln,再由法拉第电磁感应定律，有,,,,,ln,dd,0,,4 dt,dt 2,, 3 dI,E ,,解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为,,,24, 0dI ln 3,线圈与两长直导线间的互感为,,,,I24,M 0d ln 3,,dl,当电流以变化时，线圈中的互感电动势为 dt,,,,,ln,0,,dt 24 dt,,dI d3 dI,E M,,试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图 示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势设时刻 t，线圈左端距右侧直导线的距离为，则穿过回路的磁通量,S,,,dt,d, B dS f 1, ，它表现为变量I和的二元函数，将代入 E ,,d,4,即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中 v ，再令d 即可,dt 求得图示位置处回路中的总电动势最终结果为两项，其中一项为动生电动,势，另一项为感生电动势 8 8 有一测量磁感强度的线圈，其截面积S 4.0 cm2 、匝数N 160,学 海 无 涯 匝、电阻R 50线圈与一内阻Ri30的冲击电流计相连若开始时， 线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直，然后线圈的平面很快地转到 与B 的方向平行此时从冲击电流计中测得电荷值q 4.0105 C 问此 均匀磁场的磁感强度B 的值为多少？ 分析 在电磁感应现象中，闭合回路中的感应电动势和感应电流与磁通量变 化的快慢有关，而在一段时间内，通过导体截面的感应电量只与磁通量变化 的大小有关，与磁通量变化的快慢无关工程中常通过感应电量的测定来确 定磁场的强弱 解 圈转过90角时，通过线圈平面磁通量的变化量为 2 1 NBS 0 NBS,,,,R RiR Ri,因此，流过导体截面的电量为q ,NBS,,,NS,5,则 B ,qR Ri , 0.050 T,8 9 如图所示，一长直导线中通有I 5.0 A 的电流，在距导线9.0 cm 处，放一面积为0.10 cm2 ，10 匝的小圆线圈，线圈中的磁场可看作是均匀 的今在1.0 102 s 内把此线圈移至距长直导线10.0 cm 处求：（1） 线圈中平均感应电动势；（2） 设线圈的电阻为1.0102，求通过线圈 横截面的感应电荷,学 海 无 涯,,分析 虽然线圈处于非均匀磁场中，但由于线圈的面积很小，可近似认为穿 过线圈平面的磁场是均匀的，因而可近似用 NBS 来计算线圈在始、末 两个位置的磁链 解 （1） 在始、末状态，通过线圈的磁链分别为,,1,0,2r,N IS,1 NB1S ,,2,0,2r,N IS,, 2 NB2S ,,则线圈中的平均感应电动势为,,,,,,,,,,8,r2 ,N0 IS 11 t2t r1,E , 1.1110V,电动势的指向为顺时针方向 （2） 通过线圈导线横截面的感应电荷为,,d,6,E ,dt 8 10 如图（）所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为 B的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高？,学 海 无 涯,,,,d dt,分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由 E ,求,解外（必须设法构造一个闭合回路），还可直接用公式 E l v Bdl 求 解 在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元l 上的动生电动势 dE v Bdl .在一般情况下，上述各量可能是l 所在位置的函数矢 量（v B）的方向就是导线中电势升高的方向 解1 如图（）所示，假想半圆形导线OP 在宽为2R 的静止形导轨上滑动， 两者之间形成一个闭合回路设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或 端点P 距 形导轨左侧距离为x，则,,,,,,2,2,1, 2Rx RB,即,,,dx,7,dtdt,d,E 2RB 2RvB,由于静止的 形导轨上的电动势为零，则E 2RvB式中负号表示电动势 的方向为逆时针，对OP 段来说端点P 的电势较高 解2 建立如图（c）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元l，则 dE v B dl vBsin 90o cos dl vB cos Rd,学 海 无 涯,/2,E dE v,,/2,BRcos d 2RvB,由矢量（v B）的指向可知，端点P 的电势较高 解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路由于磁场是均匀的，在任意时刻，,,dt,d,穿过回路的磁通量 BS 常数.由法拉第电磁感应定律 E 可知，,E 0 又 因 E EOP EPO 即 EOP EPO 2RvB 由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动 势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上 的动生电动势上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法 8 11 长为L的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率绕通过支点且垂 直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势 差,,分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如 同电源的端电压与电源电动势的不同在开路时，两者大小相等，方向相反 （电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方 向）本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看 作是OA 棒与OB 棒上电动势的代数和，如图（）所示而EO A 和EO B 则 可以直接利用第 2 节例1 给出的结果 解1 如图（）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元l，则,8,学 海 无 涯,,L-r,AB,AB,2,1,,,- r,Ev B dl lBdl lBL 2r,因此棒两端的电势差为,,2,1,UAB EAB lBL 2r,当L 2r 时，端点A 处的电势较高 解2 将AB 棒上的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和，如图 （）所示其中,,,,2,2,1,OA,EBr ,,,,,2,OB,E 1 BL r2,则,,,,,,1,EAB EOA EOB BLL 2r,2 8 12 如图所示，长为L 的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO轴以 角速度旋转，棒与转轴间夹角恒为，磁感强度B 与转轴平行求OP 棒 在图示位置处的电动势,,,,dt,9,d,分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律 E 计算（此,学 海 无 涯 时必须构造一个包含OP导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路 OPQO），也可用 E l v Bdl 来计算由于对称性，导体OP 旋转至 任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的 解1 由上分析，得 EOP OP v Bdl,l,o,, vBsin 90 cosdl,l,o,dl,Bcos,,90 , ,lsin ,,L,0,2,2,2,1, Bsin ldl BLsin ,由矢量 v B 的方向可知端点P 的电势较高 解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿 过回路的磁通量为零，则回路的总电动势,,d,E 0 E E E dtOPPO 显然，EQO 0，所以,,2,10,1,EOP EPQ EQO BPQ,2 由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效后者是垂直切割的情况,8 13 如图（）所示，金属杆AB 以匀速v 2.0ms1 平行于一长直导 线移动，此导线通有电流I 40A求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势 较高？,学 海 无 涯,,分析 本题可用两种方法求解（1） 用公式 E l v Bdl 求解，建立,,图（a）所示的坐标系，所取导体元dl dx ，该处的磁感强度 B 0 I （2）,2x。