09 4609 46 1 1 10 3 10 3 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 10 3 1 自由度10 3 1 自由度 自由度 自由度 确定一个物体在空间的位置所必需的独 立坐标数目 确定一个物体在空间的位置所必需的独 立坐标数目 做直线运动的质点 一个自由度一个自由度 做平面运动的质点 二个自由度二个自由度 做空间运动的质点 三个自由度三个自由度 09 4609 46 2 2 运动刚体的自由度 运动刚体的自由度 z y x C z x y 1coscoscos 222 结论 结论 自由刚体有自由刚体有六个六个自由度 三个 自由度 三个平动平动自由度 三个 自由度 三个转动转动自由度自由度 09 4609 46 3 3 单原子分子 单原子分子 一个原子构成一个分子一个原子构成一个分子 多原子分子 多原子分子 三个以上原子构成一个分子三个以上原子构成一个分子 双原子分子 双原子分子 两个原子构成一个分子 三个自由度 氢 氧 氮等 两个原子构成一个分子 三个自由度 氢 氧 氮等五个自由度 氦 氩等 五个自由度 氦 氩等 六个自由度水蒸气 甲烷等六个自由度水蒸气 甲烷等 09 4609 46 4 4 10 3 2 能量按自由度均分原理10 3 2 能量按自由度均分原理 单原子分子 单原子分子 kTmmmm zyx 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 vvvv k 2222 3 1 vvvv zyx kTmmm zyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 0 vvv 09 4609 46 5 5 能量均分定理 能量均分定理 kT i 2 k i 为分子自由度数 在温度为 为分子自由度数 在温度为T 的平衡态下 物质分子的每个自由 度都具有相同的平均动能 其值为 的平衡态下 物质分子的每个自由 度都具有相同的平均动能 其值为 2kT 分子平均动能 分子平均动能 单原子分子 单原子分子 kT 2 3 k 3 i 多原子分子 多原子分子 kT 2 6 k 6 i 双原子分子 双原子分子 kT 2 5 k 5 i 09 4609 46 6 6 10 3 3 理想气体的内能 摩尔热容10 3 3 理想气体的内能 摩尔热容 内能 内能 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势 能的总和 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势 能的总和 理想气体内能 理想气体内能 气体中所有分子的动能 气体中所有分子的动能 1mol 理想气体内能 理想气体内能 RT i kT i NE 22 Amol 质量为质量为m 摩尔质量为 摩尔质量为M的理想气体内能 的理想气体内能 RT i M m E M m E 2 mol 09 4609 46 7 7 内能的改变量 内能的改变量 TR i M m E 2 结论 结论 理想气体的内能只是温度的单值函数 理想气体的内能只是温度的单值函数 TR i EQ V d 2 dd 1mol 理想气体在等体过程中吸收的热量为理想气体在等体过程中吸收的热量为 摩尔定容热容 摩尔定容热容 R i T Q C V V 2d d mol m 09 4609 46 8 8 根据迈耶公式 根据迈耶公式 RCC Vp m m 摩尔定压热容 摩尔定压热容 R i C p 1 2 m 比热容比 比热容比 i i2 09 4609 46 9 9 例例2 容器内有某种理想气体 气体温度为容器内有某种理想气体 气体温度为273K 压 强为 压 强为0 01 atm 1atm 1 013 105 Pa 密度为 密度为 1 24 10 2 kg m 3 试求 试求 1 气体分子的方均根速率 气体分子的方均根速率 2 气体的摩尔质量 并确定它是什么气体 气体的摩尔质量 并确定它是什么气体 3 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是 多少 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是 多少 4 单位体积内分子的平动动能是多少 单位体积内分子的平动动能是多少 5 若气体的物质的量为 若气体的物质的量为0 3 mol 其内能是多少 其内能是多少 09 4609 461010 1 气体分子的方均根速率为气体分子的方均根速率为 解 解 M RT3 2 v 由物态方程由物态方程RT M m pV Vm 1 2 5 2 sm 1024 1 10013 1 01 033 p v 1 sm494 09 4609 461111 2 气体的摩尔质量 并确定它是什么气体气体的摩尔质量 并确定它是什么气体 根据物态方程 得根据物态方程 得 p RT p RT V m M 1 5 2 molkg 10013 101 0 27331 8 1024 1 13 molkg1028 氮气 氮气 N2 或一氧化碳 或一氧化碳 CO 气体 气体 09 4609 461212 3 分子的平均平动动能 分子的平均平动动能 J2731038 1 2 3 2 3 23 kTJ106 5 21 分子的平均转动动能 分子的平均转动动能 J2731038 1 2 2 23 kTJ107 3 21 4 单位体积内的分子数 单位体积内的分子数 kT p n J10013 101 0 2 3 2 3 5 p J105 1 3 kTnE 2 3 k 09 4609 461313 5 根据内能公式根据内能公式 RT i M m E 2 J27331 8 2 5 3 0 J107 1 3 09 4609 461414 10101010 4 4 4 4 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 10 4 1 麦克斯韦速率分布函数 设有设有 N 100 个粒子 速率范围 个粒子 速率范围 0 300 m s 1 v N N N 1 sm100 0 1 sm200 100 1 sm300 200 20 50 30 0 2 0 5 0 3 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 N N N N N N 09 4609 461515 v N N 单位速率区间内分子数占总分子数的百分比 单位速率区间内分子数占总分子数的百分比 v 速率分布函数 速率分布函数 vv v v d d1 lim 0 N NN N f 速率分布函数的物理意义 速率分布函数的物理意义 速率在速率在 v 附近 单位速率区间内分子数占总 分子数的百分比 附近 单位速率区间内分子数占总 分子数的百分比 N N f d d vv 09 4609 461616 麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦速率分布函数 2 2 23 0 2 0 e 2 4 vv v kT m kT m f f v v dv N N f d d vv 玻耳兹曼常量 玻耳兹曼常量 A N R k 123 KJ1038 1 09 4609 461717 f v vv2v1 结论 结论 在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数 值上等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分比 在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数 值上等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分比 N N f vv v v d 2 1 归一化条件 归一化条件 1d 0 vvf 09 4609 461818 10 4 2 气体分子速率分布的测定 1934年我国 物理学家葛正 权用实验测定 了分子的速率 分布 年我国 物理学家葛正 权用实验测定 了分子的速率 分布 09 4609 461919 气体分子速率分布的测定原理 09 4609 462020 10 4 3 三个统计速率 1 平均速率 平均速率 设 速率为设 速率为v1的分子数为 的分子数为 N1个 速率为 个 速率为v2的分子数为 的分子数为 N2个 个 总分子数 总分子数 N N1 N2 Nn N NNN N N nnii vvvv v 2211 0 d vvvf N Ndv v 09 4609 462121 M RT M RT m kT 60 1 8 8 0 v 2 方均根速率 方均根速率 vvvvd 22 f M RT M RT m kT 73 1 33 0 2 v 09 4609 462222 3 最概然速率 最概然速率 0 d d v v f 0 p 2 m kT v f v v p vv 2 v 在平衡态条件下 理想气体分子速率分布在在平衡态条件下 理想气体分子速率分布在vp 附近的单位速率区间内的分子数占气体总分子数的 百分比最大 附近的单位速率区间内的分子数占气体总分子数的 百分比最大 M RT M RT 41 1 2 09 4609 462323 09 4609 462424 f v v T1 T2 例例3 图为同一种气体 处于不同温度状态下的速率 分布曲线 试问 图为同一种气体 处于不同温度状态下的速率 分布曲线 试问 1 哪一条曲线对应的温度高 哪一条曲线对应的温度高 2 如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气 的分布曲线 问哪条曲线对应的是氧气 哪条对应的 是氢气 如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气 的分布曲线 问哪条曲线对应的是氧气 哪条对应的 是氢气 解 解 M kT2 p v 1 T1 v 0 0 v v0 1 作速率分布曲线 作速率分布曲线 2 由 由N 和和vo求常量求常量C 3 求粒子的平均速率 求粒子的平均速率 4 求粒子的方均根速率 求粒子的方均根速率 C vov vf O 解 解 0 d vvf o C v 1 1d 0 o CC o vv v 09 4609 462828 2 dd 2 0 00 0v vvvvvv v CCf 22 1 0 2 0 vv v v 0 2 0 0 2 0 22 3 1 dd 0 vvvvvvv v Cf 0 2 3 3 vv 09 4609 462929 10101010 5 5 5 5 玻耳兹曼能量分布玻耳兹曼能量分布玻耳兹曼能量分布玻耳兹曼能量分布 奥地利物理学家玻耳 兹曼 奥地利物理学家玻耳 兹曼 Boltzmann 1844 1906 在麦克斯韦速率 分布的基础上考虑到外力 场对气体分子分布的影 响 发现了气体分子按能 量分布的规律 在麦克斯韦速率 分布的基础上考虑到外力 场对气体分子分布的影 响 发现了气体分子按能 量分布的规律 vvvv v de 2 4d d 2 2 23 0 2 0 kT m kT m f N N 保守力场中分子的能量 保守力场中分子的能量 pk 空间区域 空间区域 zzzyyyxxxd d d 速度区间 速度区间 zzzyyyxxx vvvvvvvvvd d d 其中 2 v 0k 2 1 m 10 5 2 玻耳兹曼能量分布 09 4609 463131 玻耳兹曼能量分布律 玻耳兹曼能量分布律 zyx kT m nN zyx kT dddddde 2 d pk 23 0 0 vvv 1ddde 2 k 23 0 zyx kT kT m vvv 根据归一化条件根据归一化条件 zyxnN kT ddded p 0 体元中含有各种速度的分子数为体元中含有各种速度的分子数为 09 4609 463232 kT nn p e 0 玻耳兹曼密度分布律 玻耳兹曼密度分布律 重力场中的气体分子的分布 gzm0 p z kT gm nn 0 e 0z z RT Mg n e 0 因为因为 nkTp p0 为海平面的大气压为海平面的大气压 pz 为海拔高度为为海拔高度为 z 的大气压 设 的大气压 设 z RT Mg nn e 0z 所以所以 z RT Mg pp e 0z p p Mg RT z 0 ln 。