一元二次方程根的分布情况归 纳(完整版)2 ( )( )） ï ï î ï ï î ） ï ï î ï ï î 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程 ax +bx +c =0 根的分布情况设方程数为 f x =ax 2的不等两根为 且 ，相应的二次函ax2 +bx +c =0 a ¹0 x , x x 0, x >0 )1 2一正根一负根 即一个根小于 0，一个大于0 (x<0 0结论得出的ì D>0ï bí- <02a ïf (0)>0ì D>0ï bí- >02a ïf (0)>0f (0)<0大致图象（a <0结论得出的ì D>0ï bí- <02a ïf (0)<0ì D>0ï bí- >02a ïf (0)<0f (0)>02a ï ï î ï ï î （不讨论）综合结论ì D>0ï bí - <02aïa×f (0)>0ì D>0ï bí - >02aïa×f (0)>0a ×f (0)<03） ï ï î ï ï î ） ï ï î ï ï î ï ï î ï ï î 表二：（两根与k的大小比较）分布情况大致图象（a >0两根都小于 k 即 两根都大于 k 即x k , x >k1 2 1 2k k一个根小于 ，一个大k于 k 即x 0ï bí- 0ì D>0ï bí- >k2a ïf (k)>0f (k)<0大致图象（a <0论得出的结ì D>0ï bí- 0ï bí- >k2a ïf (k)<0f (k)>0）（不讨论综合结论ì D>0ï bí - 0ì D>0ï bí - >k2aïa×f (k)>0a ×f (k)<04( )( )( )） ï ï ï ï î ï ( )或 ï í ï ï î í ） ( ) f ï ï ï ï î ï ( )f 或 ï ( ) ï ï î í 表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内(m,n)两根有且仅有一 根在 内m, n（图象有两种情 况，只画了一种）一根在 内，另m, n一根在 内， p, qm 0得出的结论ì D>0f (m)>0 í f (n)>0b ïm <- 0f n <0f (p)<0f (q)>0ìïf(m)f(n)<0 ïîf(p)f(q)<0大致图象（a <0得出的结论ì D>0m <0 í f (n)<0b ïm <- 0íf p >0f (q)<0ìïf(m)f(n)<0 ïîf(p)f(q)<05a î ( )a >0í a <0í ( )( )( )( )（不讨论）综合结论——————f (m)×f(n)<0ìïíïf (m)f(n)<0 f (p)f(q)<0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m, n外，即在区间两侧x n 1 2，（图形分别如下）需满足的条件是（1） 时，ìïf(m)<0 ïîf(n)<0； （2） 时，ìïf(m)>0 ïîf(n)>0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在m, n内有以下特殊情况：若或 f m =0 f n =0，则此时f (m)f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或 ，可以求出另外一根，然后可以根m n据另一根在区间(m,n)内，从而可以求出参数的值。
如方程mx2-(m+2)x+2=0在 区 间(1,3)上 有 一 根 ， 因 为f (1)=0， 所 以mx2 -(m+2)x+2=(x-1)(mx-2)，另一根为 2 ，由 m1 <2 得 2<3m 3
m解：由(2m+1)f(0)<0即(2m+1)(m-1)<0，从而得1- 0 ï - m +1í- >02 2ï f (0)>0 îÞì(m+1)2-8m>0 ïí m >-1 m >0îÞïìm<3-2 2或m >3 +2 2 íïî m >0Þ0 3 +2 2即为所求的范围例 3、已知二次函数与 轴有两个交点，y = m +2 x 2 - 2m +4 x + 3m +3 x一个大于 1，一个小于 1，求实数 的取值范围解：由(m+2)f(1)<0即(m+2)(2m+1)<0Þ-2
例 4、已知二次方程mx2+(2m-3)x+4=0只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值范围m解：由题意有方程在区间 上只有一个正根，则0,1f (0)f(1)<0Þ4 (3m+1)<0Þm <-13即为所求范围注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这 个根在 内，由 计算检验，均不复合题意，计算量稍大）0,1 D=0例 1、当关于 的方程的根满足下列条件时，求实数 的取值范 围：（1）方程 的两个根一个大于 2，另一个小于 2； （2）方程 的一个根在区间 上，另一根在区 间 上；（3）方程 的两根都小于 0；变题：方程 的两根都小于-1．（4）方程 的两根都在区间 上；（5）方程 2 在区间（-1，1）上有且只有一解； 例 2、已知方程 2 在区间[-1，1]上有解，求实数 m 的取 值范围．例 3、已知函数 f (x) 2 的图像与 x 轴的交点至少有一 个在原点右侧，求实数 m 的取值范围．检测反馈：1．若二次函数 2 值范围是___________．在区间1( ,1)2上是增函数，则 的取f (2)2．若 、 是关于 x 的方程 a b的最小值为 ．x 2 -2k。