第二章 离散系统的振动微分方程,,,,2.1 实际系统离散化的力学模型,一.实际系统的离散化,依 据 简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和分析结果的精度要求等 原 则 弹性较小而质量较大的构件 → 质量元件 质量较小而弹性较大的构件 → 弹性元件 阻尼较大的部分 → 阻尼元件 质量、弹性和阻尼均布 → 质量、弹性、阻尼均有的单元,第二章 离散系统的振动微分方程,,,,2.1 实际系统离散化的力学模型,,例2-1,机组质量集中为一个质量元件，弹性支承简化成并联的弹簧和阻尼器2.1 实际系统离散化的力学模型,例2-2,,,,,二.离散化的力学模型 （“三要素”） 1.质量元件 ---无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件,,,,,,,2.弹性元件 ---无质量、不耗能，储存势能的元件,,,,,,,3.阻尼元件 ---无质量、无弹性、线性耗能元件,耗散能：,,,,2.2 力学基础,2.2 力学基础,2.2 力学基础,2.2 力学基础,2.2 力学基础,,,,2.3 振动微分方程的建立,一.单自由度系统 1. 力法 工具：牛顿第二定律、质系动量矩定理 步骤：,1）建立广义坐标 2）作质量元件的隔离体受力分析图 3）建立振动微分方程并整理成标准的形式,,,,2.3 振动微分方程的建立,例2-3 建立图示系统在铅垂方向振动的微分方程。
图2-3 有阻尼单自由度系统,建立广义坐标取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标x原点在系统的静平衡位置，向下为正隔离体受力分析,由力学原理得到,,,,,,,,2.3 振动微分方程的建立,例2-4 建立图示单摆作微小振动的微分方程图2-4 单摆,建立广义坐标单摆偏离平衡位置的转角θ，坐标零位在铅垂位置，逆时针方向为正隔离体受力分析,由动量矩原理得到,,,,,,,,2.3 振动微分方程的建立,例2-5 建立图示U形管中液柱振动的微分方程截面积a，液柱长 ）,图2-5 U形管,建立广义坐标设系统平衡时液面的位置为广义坐标的零位，液柱沿直管上升的距离y为广义坐标受力分析,由D’Alembert原理得到,,,,,,,2.3 振动微分方程的建立,2. 能量法 工具：机械能守恒定律 步骤：,1）建立广义坐标建立方法与前者相同 2）写出系统的动能V、势能U和耗散能P,得到的方程经整理，线性化后就能得到系统的振动微分方程3）利用能量守恒原理,当系统中质量较多时，用此方法,关键是要清楚各个元件的能量表达式,,,,2.3 振动微分方程的建立,例2-6 建立图示系统作微振动的微分方程 解：,图2-6 多质量系统,建立广义坐标。
选θ为广义坐标，逆时为负，OB静止时θ 为零，则x1=a θ ，x2=2a θ 2.3 振动微分方程的建立,系统的动能V 势能U 耗散能P,由能量守恒原理得到,,,,,,,,,,,2.3 振动微分方程的建立,二. 等效系统,多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件平动：,转动：,单自由度振动系统微分方程的一般形式,,,,2.3 振动微分方程的建立,1. 等效刚度 计算方法：1) 刚度的定义 2)等效前后系统势能不变斜置弹簧,斜向布置的弹簧,等效弹簧刚度,,,,,,,2.3 振动微分方程的建立,并联弹簧,并联弹簧,等效弹簧刚度,,,,,2.3 振动微分方程的建立,串联弹簧,串联弹簧,等效弹簧刚度,,,,,2.3 振动微分方程的建立,传动系统,传动系统,等效前势能,速比,等效后势能,,,等效刚度,,,,2.3 振动微分方程的建立,2. 等效阻尼 计算方法：（类似于等效刚度）,并联阻尼：,串联阻尼：,传动系统：传动比i，主动轴扭转阻尼系数ct1，从动轴 扭转阻尼系数ct2，主动轴向从动轴等效时， 主动轴等效扭转阻尼系数 ct1e=ct1 / i 2,,,,2.3 振动微分方程的建立,3. 等效质量 计算方法：等效前后系统动能不变,例2-7 求图示系统对A点的等效质量,弹簧-杠杆（质量不计）-质量系统,等效前系统的动能,等效后系统的动能,,∵,,,,2.3 振动微分方程的建立,例2-8 求把轴Ⅰ等效到轴Ⅱ时盘1的等效惯量J1e,传动系统,解： 等效前系统的动能,等效后系统的动能,,∵,,,,2.3 振动微分方程的建立,三. 多自由度系统 1. 力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理,n个自由度的系统,（1）建立广义坐标。
质量mi 的位移xi，质量mi静平衡位置为原点，方向向右为正2）隔离体受力分析 广义位移、速度、加速度均为正,,,,,,例 2-10,,,,2.3 振动微分方程的建立,（3）建立方程,整理后用矩阵形式表示为：,,,,,,,,2.3 振动微分方程的建立,广义坐标,广义速度,广义加速度,外力向量,,,,2.3 振动微分方程的建立,刚度矩阵 (对称、半正定),,,,2.3 振动微分方程的建立,质量矩阵 (对称、正定),,,,2.3 振动微分方程的建立,阻尼矩阵 (对称),,,2.3 振动微分方程的建立,2. 视察法（力法的物理意义）,质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点,1) 质量矩阵[M]是对角矩阵，对角元mii=mi，即第i个对角元素就是第i个质量元件的质量 2) 阻尼矩阵[C]是对称矩阵，对角元cii为所有与第i个质量元件相连接的阻尼元件阻尼系数之和（等效阻尼），非对角元cij = cji ，连接第i个质量元件和第j个质量元件的阻尼元件阻尼系数之和是cij 3) 刚度矩阵[K] 是对称矩阵，对角元kii为所有与第i个质量元件相连接的弹性元件刚度之和（等效刚度），非对角元kij = kji ，连接第i个质量元件和第j个质量元件的弹性元件刚度之和是kij 。
2.3 振动微分方程的建立,例 2-11 用视察法写出图示链式系统的振动微分方程,链式系统,解: 1) 建立广义坐标如图所示，坐标原点在系统静平衡时各质量的位置2)由视察法得到系统振动微分方程 :,,,,2.3 振动微分方程的建立,链式系统,振动微分方程 :,,,,2.3 振动微分方程的建立,链式系统,振动微分方程 :,,,2.4 振动微分方程的一般形式,,特例：单自由度系统,有阻尼自由振动： {F(t)}={0} 有阻尼强迫振动： {F(t)} ≠{0} 无阻尼自由振动 ： [C]=[0]， {F(t)}={0} 无阻尼强迫振动： [C]=[0],求系统的等效刚度（ B ）,A．,B．,,C．,,D．,忽略杆的重量，以图示的x坐标系，系统的等效质量为（ D ）,,,,大题：振动微分方程的建立（力法、能量法、观察法）,A．,B．,C．,D．,本章小结,实际振系离散化的力学模型 离散化“原则”；“三要素”及其在不同运动方式时的能量表达式 力学基础 关于“自由度”和“广义坐标” 动力学的几个基本原理 振动微分方程的建立方法 先从“单自由度系统”入手力法”、“能量法” 再推广到“多自由度系统”。
力法”、“视察法”、“刚度法 & 柔度法”、“Lagrange法” 复杂系统简单化的途径之一：“等效”处理（等效“三要素”的计算方法） 振动微分方程的一般数学表达式,。