一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 2.5随机变量的函数的分布 问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 求截面面积 A = 的分布 . 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布， 求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等 . 这类问题无论在实践中还是在理论上都是重要的 . 问题的一般提法 一、离散型随机变量的函数的分布 下面举例说明解决办法 设X是离散型随机变量，则Y=g(X)一般也 是离散型随机变量 此时，只需由X分布律求得Y的分布律即可 Y 的可能值为 即 0, 1, 4. 解 例1 设X的分布率为 故Y 的分布律为 由此可得离散 型随机变量函 数分布的求法 离散型随机变量的函数的分布 X -1 0 1 2 3 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 求(1)Y=X-1; (2)Y= -2X2的分布律 练习: 设离散型随机 变量X的分布律为 解: 由X的分布律可得下表 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2 -2X2 -2 0 -2 -8 -18 (1)Y=X-1的分布律为 Y -2 -1 0 1 2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 （2）Y= -2X2的分布律为 Y -18 -8 -2 0 P 3/10 3/10 3/10 1/10 二、连续型随机变量函数的分布 再由FY(y)求导可求出Y的概率密度 设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)， 求Y=g(X) （g连续）的概率密度。
因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}， 1．一般方法——分布函数法 可先求出Y的分布函数FY(y)： 下面举例说明此法也叫“分布函数法” 设ly={x|g(x)≤y} 则 第二步 由分布函数求概率密度. 第一步 解 例2 例3 设 X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度. 求导得 当 y>0 时, 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ， 若 则 Y=X2 的概率密度为： 称Y服从自由度为1的 分布 练 设随机变量X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度. 当 y 0时, 当 y >1时, 当时 故 解：注意到, 当00的情况此时g(x)在(-∞,+ ∞) 严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α ，β)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布 函数FY(y) 因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时， FY(y)=P{Y≤y}=0； 此定理的证明与前面的解题思路类似. 当y≥β时， FY(y)=P{Y≤y}=1； 当α
（1）分布函数法； （2）公式法：若y=f(x)严格单调可导，则其反函数 严格单调可导，此时可用公式法； *（3）若y=f(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段 严格单调可导，其反函数分别为g1(y), g2(y), …, 且g1(y), g 2(y), …,均为连续函数，则Y= f(X) 是连续型随机变量， 其密度函数为 在求Y=g(X) 分布时，关键步是把 事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形 式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }. 本章小结 附 录 • 思考题1，2举例 思考1：例 设X在[0,π]服从均匀分布，求： Y=sinX的分布函数FY(y)和概率密度. （2）y=sinx在[0,π]不 单调，但可分为两单调区间 （0,π/2 ）(π/2 , π) 解：（1） （3）求：FY(y)=P{Y≤y} ，当0≤y≤1时，FY(y) =P{sinX ≤ y} =P{0 ≤X≤arcsiny} +P{-arcsiny ≤X≤} y y 0 x π/2 π x x1=arcsinyx2=π-arcsiny 思考2： 例如， 所以 。