勾股定理的证明【证法 1】（课本的证明）ab ac bcbcca2 2 ， 整理得 a 2 + b 2 = c 2 .a b做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即1 1a 2 + b 2 + 4 ´ ab = c 2 + 4 ´ ab【证法 2】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1等于 2ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上.∵ RtΔ HAE ≌ RtΔ EBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.D bGa C∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2.aHbccccbFaa∵ RtΔ GDH ≌ RtΔ HAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.A EbB∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 (a + b)2 .2 . ∴ a 2 + b 2 = c 2 . D∴= 4 ´(a + b )2 1 ab + c 2【证法 3】（赵爽证明）以 a、b 为直角边（b>a）， 以 c 为斜cb1AaG FH EC边作四个全等的直角三角形，则每个直角1三角形的面积等于 2ab. 把这四个直角三4 ´ ab + (b - a )2 = c 2积等于 2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、CE、B 三点在一条直线上.角形拼成如图所示形状.∵ RtΔ DAH ≌ RtΔ ABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为 b―a 的正方形，它的面积等于 (b - a)2 .1∴ 2 .∴ a 2 + b 2 = c 2 .【证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1ab∵ RtΔ EAD ≌ RtΔ CBE,D∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.accb∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.A∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形，1c 2它的面积等于 2.b EaB又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.1 (a + b)2∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2 .1 (a + b )2 = 2 ´ 1 ab + 1 c 2∴ 2 2 2 .∴ a 2 + b 2 = c 2 .【证法 5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P.∵ D、E、F 在一条直线上, 且 RtΔ GEF ≌ RtΔ EBD,2又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.G∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形.Fb acEPc caa b∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ RtΔ ABC ≌ RtΔ EBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.bCHbaD即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，AcB2 ,BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则1a 2 + b 2 = S + 2 ´ ab,21c 2 = S + 2 ´ ab∴ a 2 + b 2 = c 2 .【证法 6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上.E过点 Q 作 QP∥BC，交 AC 于点 P. b a过点 B 作 BM⊥PQ，垂足为 M；再过点F 作 FN⊥PQ，垂足为 N.∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，Fc APbM∴ ∠MPC = 90º，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90º，c cNaC.∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90ºQ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，cB∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴ RtΔ BMQ ≌ RtΔ BCA.同理可证 RtΔ QNF ≌ RtΔ AEF.3从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）.【证法 7】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结GBF、CD. 过 C 作 CL⊥DE，交 AB 于点 M，交 DE 于点H∵ Δ FAB 的面积等于 2，L.∵ AF = AC，AB = AD， F∠FAB = ∠GAD，∴ Δ FAB ≌ Δ GAD，1a 2aaACMbBbKΔ GAD 的面积等于矩形 ADLM的面积的一半，∴ 矩形 ADLM 的面积 = a 2 .同理可证，矩形 MLEB 的面积 = b 2 .cD L cE∵ 正方形 ADEB 的面积= 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积∴ c 2 = a 2 + b 2 ，即 a 2 + b 2 = c 2 .【证法 8】（利用相似三角形性质证明）如图，在 RtΔ ABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥AB，垂足是 D.在Δ ADC 和Δ ACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，C∠CAD = ∠BAC，∴ Δ ADC ∽ Δ ACB.abA D BAD∶AC = AC ∶AB，即 AC 2 = AD · AB .c同理可证，Δ CDB ∽ Δ ACB，从而有 BC 2 = BD · AB .∴ AC 2 + BC 2 = (AD + DB)· AB = AB 2 ，即 a 2 + b 2 = c 2 .【证法 9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a），斜边长为 c.再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AF⊥AC，AF 交 GT于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BP⊥AF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为E，DE 交 AF 于 H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， G a DAD = AB = c，cb 9 4c 21H PF8 R A∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即 PB =CA = b，AP= a，从而 PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90，∠ DHF = 90，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90，∴ DGFH 是一个边长为 a 的正方形.∴ GF = FH = a 。