《对坐标的曲线积分》ppt课件

一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算,§10.2 对坐标的曲线积分,三、两类曲线积分之间的联系,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,变力沿曲线所作的功,质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 求变力F(x y)所作的功,提示,把L分成n个小弧段 L1 L2    Ln,求功的过程,变力在Li上所作的功的近似值为,变力在L上所作的功的近似值为,变力在L上所作的功的精确值为,其中是各小弧段长度的最大值,F在Li上所作的功WiF(i i)si,光滑曲线,对坐标的曲线积分,设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有界 把L分成n个有向小弧段L1 L2    Ln 其中Li是从(xi1 yi1)到(xi yi)的小弧段 记xixixi1 yiyiyi1 在小弧段Li上任取一点(i ) 令为各小弧段长度的最大值,对坐标的曲线积分,在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段,说明,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分,对坐标的曲线积分,说明,设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义,对坐标的曲线积分的简写形式,在应用上经常出现的是,上式可记为,其中F(x y)P(x y)iQ(x y)j drdxidyj,类似地 有,其中AP(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k drdxidyjdzk,对坐标的曲线积分的性质,性质1 设、为常数 则,性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2,性质3 设L是有向光滑曲线弧 L是L的反向曲线弧 则,则,提示,二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应的参数分别为t和tdt 得功元素,F[(t) (t)]dr,dr(dx dy)((t)dt (t)dt),dW,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的起点和终点所对应的参数分别为和,图形,F[(t) (t)](P[(t) (t)] Q[(t) (t)]),二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应的参数分别为t和tdt 得功元素,F[(t) (t)]dr,P[(t) (t)](t)dtQ[(t) (t)](t)dt,dW,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的起点和终点所对应的参数分别为和,于是,二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的起点和终点所对应的参数分别为和,这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算,定理(对坐标的曲线积分的计算公式),应注意的问题 下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 ,,设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则,设空间曲线由x(t) y(t) z(t)给出 以t为起点以t 为终点 问,讨论,提示,,设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则,解,L分为AO和OB两部分,第一种方法 以x为积分变量,上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧,,设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则,解,第二种方法 以y为积分变量,在L上 xy2 y从1变到1 因此,上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧,解：,例2 计算  其中L为圆周(xa)2y2a2(a0)及x轴所围 成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).,LL1L2 其中,L1 xaacos t yasin t  t从0变到,L2 xx y0 x从0变到2a,因此,(1)L yx2 x从0变到1 所以,解,(2)L xy2 y从0变到1 所以,(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB,(3)OA y0 x从0变到1 AB x1 y从0变到1,解,011,(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB,解:,例4 求 其中为有向闭折线ABCA  这里的A B C依次为点(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1).,ABBCCA 其中,AB xx y1x z0 x从1变到0,BC x0 y1z zz z从0变到1,CA xx y0 z1x x从0变到1,故,,提示,按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W,解,椭圆的参数方程为xacost ybsint t从0变到 ,质点在点M(x y)处所受到的力为,,例,5,,一个质点,在力,F,的作用下从点,A,(,a,,,0),沿椭圆,,按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W,解,质点在点M(x y)处所受到的力为,三、两类曲线积分之间的联系,说明 指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量,设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 L的参数方程为x(t) y(t) L的起点和终点所对应的参数分别为a和b 则,三、两类曲线积分之间的联系,设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 L的参数方程为x(t) y(t) L的起点和终点所对应的参数分别为a和b 则,三、两类曲线积分之间的联系,设(cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 则,类似地 设(cos cos cos)为有向曲线弧上点(x y z)处的单位切向量 则,其中A(P Q R) drds(dx dy dz) dr称为有向曲线元,或,1、对坐标曲线积分的概念,2、对坐标曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,小结,。