哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,,,授课预计 (10学时),第二章 内积空间与赋范线性空间,内积空间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,向量范数,矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,,,教 学 内 容 和 基 本 要 求,,2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基；,3, 理解正交子空间及其正交补的概念；,1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念；,,5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；,重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补； 算子范数；相容性,难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与 向量范数的相容性,,教 学 内 容 和 基 本 要 求,4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算 子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数 的相容性；,第二节我们研究了正交向量组，那么利用正交 向量组生成的线性子空间有什么特点呢？先看一个 例子。
量组令,例1. 设 是酉（欧氏）空间的一个正交向,分析 ，设,则,因为 是正交向量组，,所以,与 是欧氏(酉)空间V中的两个子空间，如果对,,定理1,,,设 与,是酉（欧氏）空间V的两个子空间，则,W1与W2正交的充要条件是生成W1与W2的 两个向量组互相正交 ，即,证明：由例1定理显然成立例2 设 ，则,,,,,,,例2 设 ，则,证明：令,则,由定理1得,,定理2 若W1，W2是酉(欧氏)空间V的正交子空间，则,是直和注意：若两个子空间的和是直和，它们不一定正交在R3中，,则W1+W2是直和，但W1与W2不正交证明,所以 是直和如果欧氏空间V的子空间 满足并且,则称W2为W1的正交补定理3 设 ，则,且,,,且,证明:,，则存在 ，使得,,,且,所以,又因为,且,而两子空间正交则子空间的和是直和，即,将(1) 中 换成 即证所以,于是,所以,而,,定理4 设W1是酉(欧氏)空间V的子空间，则存在惟一的,使得,扩充为V的标准正交基,,,,,下面证明惟一性若存在 W3，使得,由直和分解表达式的唯一性，,则,其中,从而,于是,所以 。
同理可证 ，综上,例3 设,求W1的正交补空间W2使得,解法1：,将 扩充为R3的基 ，其中取,将 用施密特正交化方法化为正交基例3 设,解法2：,求W1的正交补空间W2使得,由题设可知，,,线性无关,,根据本节定理1，只需找到 ，使其满足,取,,所以W1的正交补空间为,例4 设 是次数不大于3的实数域上的多项式空间，定义内积,设W是次数为零的多项式空间，求W的正交补空间W,解答 设W=L1=R，则dimW=4-1=3.,为求W，首先找W的一组基则f(x)满足,取,,线性无关且都与1正交,,,,W的一组基,设W是酉（欧氏）空间V的子空间，且,那么 ,有惟一的正交分解表达式,称为向量 到子空间W的距离则称向量 为向量 在子空间W的正投影，而,,向量 为向量 在子空间W的正投影，,为向量 到子空间W的距离,那么,一定满足,且当且仅当 时，等号成立证明：,由已知 , ,所以,于是,所以,时，,又因为 ，当且仅当,Good,Bye,。