第4期 中国科学基金24 1 · 成果简介 · 魔方 中的科学 李世春 (石油 大学(华东) 材料系 , 东营 2 5 7肠l ) [关键词]魔方 , 科学模型 , 科学隐喻 魔方被列为2 0世纪最有影响的 10 0 项发明之 一 , 魔方不仅仅是一个玩具 , 魔方可以作为晶体学 、 群论 、 晶体电子衍射 、 夸克 、 混沌和基因等多种科学 领域的模型 1 魔方的起源 三阶魔方虽然是匈牙利人 Rubik 于 19 75 年发 明的 , 但是魔方的思想却起源于中国 5以x〕年前的洛 书 洛书奇妙地组合排列 了9个基本数字 , 涵盖了 自然界周期性和对称性 的基本特征 , 反映出东方哲 学思想的精髓 洛书是《周易》的主要来源 , 而八卦 和6 4卦则进一步演化了对称性和周期性的思想 晶体学符号具有八卦符号 的内涵 , 可以描述对称性 和周期性 , 因此 , 可以描述魔方 2 描述魔方转动的晶体学符号 对于一个 N x N x N 魔方 , 共有妒 一 (N 一 2 ) 3 个小块 , 每一个小块都对应一个晶体学的符号 , 称为 方向指数 当 N为奇数时 , 最大的方向指数 h l k,11和最小 的方向指数 hZkZI : 分别为 h l= kl = 11 = hZ = kZ = 12 2 = 0 当N为偶数时 , 最大的方向指数 的方向指数 hZkZI : 分别为 (l) (2) 人 1 无111和最小 hZkZ12得到 , 可演绎出8种 情 况 : 「 1 1 1〕 , 〔 1111 , 仁I川 , 仁1 11」 , [丁丁1」 , [丁11」 , 仁 l丁一〕 , [一I 丁」 。
当N = 3 , 即三阶魔方 , 显然 , 由式(1)和 (2)得 到 , h ,= 几1 = 11 二 l , h := k: = l: = O 组合 h , kl11和 h ZkZ12 , 得到 、 和 三种情况 能够演绎出8种情形 , 对应 8个角块;能够演绎出1 2 种情形 , 对应1 2个边块 , 能够演绎 出6种情形 , 对应 6个心块 当N 二 4 , 即四阶魔方 , 由式(3 )和(4 )得 到 , h l二 k l= l ,= 2 , h := k: = l: = 1 组合 h l k l l , 和h ZkZ12 , 得到 、 和 三种情况 小块的 类型及数量确定如下 : 演绎出8种情形 , 对应 8个角 块 ; 演绎出2 4种情形 , 对应2 4个边块 ;演绎 出2 4种 情形 , 对应 2 4个面块 当 N = 5 , 即五阶魔方 , 由式( l )和(2 )得到 , h l二 k ,= 11 =2 , h := k: = l: = 0 组合 h , 人 111 和h ZkZ12 , 得到 、 、 、 、 和 六种情况 小块类型及数量确定如下 : 演绎 出8种情形 , 对应 8个角块;演绎出2 4 种情形 , 对应 2 4 个第一类边块 ; 演绎出1 2种情形 , 对应1 2个第二 类边块 ; 演绎出2 4种情形 , 对应 2 4个第一类面块 ; 演绎出2 4种情形 , 对应 2 4个第二类面块 ; 演绎出 6 种情形 , 对应 6 个心块 。
有了魔方的方向指数 , 根据 魔方方程 , 原则上可以使用计算机求解 N 阶魔方问 题 3 )4 )h l和 2 一一一一 2 k lk一一一一 ,妇 h lh 当N 二 2 时 , 即二阶魔方 , 由式(3 )和(4 )得到 = k l= = 11 = l , h: = k := l := l 组合 h l k l ll 3 描述魔方转动的数学模型 当魔方被转动后 , 转层 内的小块的块位和色位 要发生变化 , 设魔方转动前的状态为M , 转动后的 状态为M ‘ , 单次转动操作为 T , 则有 国家 自然科学基金科普资助项目 本文于2印3年3月 2 5 日收到 242 中 国 科学基 金 2《X ) 3年 M ‘ = 界U (5) 式(5 )称为魔方转动方程 , 描述魔方的整体运动和状 太 实际上 , 魔方被单次操作时 , 只有转层内的小块 的状态才有变化 , 非转层内的小块的状态不发生变 化 例如 , 对于三阶魔方 , 魔方被单次操作转动时 , 只有4个角块和4个边块的块位和色位发生变化 因此 , 对于每一次单次操作 , 只要描述了转层 内的小 块的运动就足以描述了整个魔方状态的变化 。
在单 次操作的转动后 , 描述魔方小块运动的方程有两个 , 一个描述块位变化 , 一个描述色位变化 , 即 (h ‘k, l , ) i ‘ , j ‘ , k ‘ T 一’( hkl) T(i , j , k) (6) (7) 方程(6 )称为块位方程 , 其中(h kl )和(h , k ’l ’)是方向 指数 , 前者描述小块转动前的块位坐标 , 后者描述小 块转动后的块位坐标 , T 一 ’为单次操作 的逆操作 ; 方 程(7)称为色位方程 , 其中( i , j , k) 和(i ‘ , j ‘ , k ‘ )是固 定在小块上的笛卡儿坐标系 , 前者描述转动前的色 位坐标 , 后者描述转动后的色位坐标 4 魔方的科学模型 作用 对于三阶魔方 , 共有2 6个小块 , 角块的三个色 面的交点是角块的特征点;边块的两个色面交线的 中点是边块的特征点 ; 心块的中心是心块的特征点 如果过魔方中心((兀 幻)点 , 垂直「h kl ]方向把魔 方切 开 , 被切过的特征点称为切割斑点 对一定的 晶体类型 , 满足结构因子的切割斑点 , 就是当电子 束沿〔h kl ]方向入射到晶体上产生的电子衍射花样 。
物理学的夸克是看不见摸不着找不到的 , 魔方 的夸克却是看得见摸得着的 魔方的夸克就是魔方 小块的状态 当一个角块被转动 12 0 度时 , 对应于 角块被扭转 1乃 转 , 这对应于魔方的一个夸克 ; 反方 向的扭转对应一个反夸克 当一个角块被转动 24 0 度时 , 对应于角块被扭转 2/ 3 转 , 这对应于魔方的另 一个夸克 和物理学的夸克一样 , 魔方的夸克也处 于 “ 禁闭 ”之 中 , 即通过转动操作 , 不可能实现使仅仅 一个角块扭转1 / 3 转或者是 2/ 3 转 物理学的夸克 可以组合成现实的基本粒子 , 魔方的夸克也可以组 合形成实在的魔方态 魔方的图案是小块排列组合的结果 , 而导致这 种特定图案的操作序列则是转动操作的排列组合 蛋 白质是氨基酸在三维空间的排列组合 , 而氨 基酸又是碱基的排列组合 , 因此 , 实质上是碱基的排 列组合决定了生成什么蛋白质 从排列组合的观点看 , 魔方和基因有许多相似 之处 一种天然蛋白质的基因编码是碱基 A 、 T 、 G 、 C 的排列组 合 假设基因序列 Al , r (;CG CAT CC - G A G CG对应制造蛋白质 Q , 并且赋予其生物功能 。
基因序列 Al丁GCG CATGCGTTCCTT 对应制造蛋 白质 俘 , 并 且赋予其生物功 能你基因序列T c T CrGGCG - CA卫多 C对应制造蛋 白质了 , 并且赋予其生物功能关 魔方的操作序列和魔方图案有相同的对应关系 , 例 如 , 操作序列WR(先转动W面 , 再转动 R 面 )对应 魔方图案 a , 操作序列 WRY(顺序转动W 、R、Y 面 )对 应魔方图案俘 , 操作序列 WRBY s (顺序转动w 、R、 B 、 Y 、 S面)对应魔方图案丫 在 DNA 中 , 不是所有的碱基排列都能决定氨基 酸或蛋 白质 , 有些碱基的排列对制造蛋 白质毫无作 用 , 这种 DNA 片段被称为微随体 微随体的特点是 几个或几十个碱基重复排列 , 研究表明 , 每个人的微 随体的长度各不相同 , 重复周期也不同 因此 , 从微 随体的特征可以识别微随体的携带者 , 所谓的 DNA 指纹或 DNA鉴定 , 其实是微随体的鉴定 魔方的操 作序列中也可以插人一些子循环操作序列 , 插人的 子循环操作序列对魔方的循环操作或其它操作没有 任何影响 在一些特殊编码中 , 可以用插入子循环 的方法对魔方谱进行标记 , 这和 DN A 的微随体有鉴 定作用完全一样 。
5 结束语 魔方及其转动既能反应对称性 , 又能反应周期 性 , 因此 , 凡是具有对称性和周期性的体系 , 都可以 以魔方为模型 此外 , 魔方的图案是魔方小块的排 列组合 , 因此 , 凡是具有排列组合特征的体系 , 同样 可以使用魔方作为模型 OF RIJB l lK , 5 CU B E U S h i chu r l (2卿玖 材阴进侧 o f 几 I o况r z a肠 &众刀‘〔 , 之 长止谊 ℃月i t y o fP e t r o人 , 切灵 , 肠 刀邵ql i召 2 57伪l ) Key w o 川5 Ru bik ’S eub e , Seientif iC m 仪lel s eio ntif ie m e taPho r 。