第十一章 强关联电子体系 §11 巡游电子的磁性理论 斯通纳理论 赫伯德模型 分子场 斯通纳判据 自发磁化 斯通纳表述 在第三章中我们已经证明，对于绝缘磁性材料产生磁性的局域电子在各 原子周围形成局域自旋矩，它们之间的交换作用由海森伯模型描述但是， 在过渡金属中产生磁性的d电子不是局域电子，它们依次在各原子的d轨道上 游移，布洛赫称之为巡游电子（itinerant electron）,实际上就是公有化的能带 电子的关联效应，从赫伯德模型入手建立巡游电子的磁性理论根据式（ 11.1.13），有外磁场h时的赫伯德哈密顿量为 （11.11.1） 我们将证明赫伯德哈密顿量的平均场近似（或哈特利-福克近似）就是斯通 纳（Stoner）的能带磁性模型若作无规相近似，则求得金属中的自旋波 激发 斯通纳理论 对H中的库仑项作哈特利-福克近似 （11.11.2） 略去等式右边的常数项并代入（11.11.1），求得哈特利-福克近似的赫伯德 哈密顿量 （11.11.3） 在均匀情况下 应与格点位置无关，这时可设 （11.11.4） 再利用表象变换关系 （11.11.5） 将式（11.11.3）写成对角形式 （11.11.6） 其中 （11.11.7） 代表巡游电子的能量。
即使在外磁场h=0时，由于 项的存在， 仍与自 旋取向有关这时能带按自旋取向分裂，导致能带分裂的原因是由于反平行自旋 电子之间的库仑排斥作用不难证明， 项将给出一个与磁化强度M成正比 的分子场 （i）分子场 令 （11.11.8） 其中n为平均每个元胞中的巡游电子数，m代表相对磁化当元胞数为N、样品 取单位体积时，磁化强度 （11.11.9） 利用式（11.11.8），求得 （11.11.10） 因此，式（11.11.7）写为 （11.11.11） 上式表明，对赫伯德模型作HF近似可求出一个与M成正比的分子场 （11.11.12） 这就是斯通纳能带模型的出发点当h=0时若求得 ，则系统 具有自发磁化，代表铁磁相这时巡游电子在同一格点上得库仑作用使能 带按自旋取向分裂，产生自旋朝上与向下电子数的不平衡，从而形成铁磁 相,其↑、↓自旋的能带劈裂为 这里 应自洽决定，而 由于在哈特利-福克近似下哈密顿量已写成独立电子系统的标准对角化形 式，根据式（11.11.6），巡游电子在布洛赫态 上的占据数为 （11.11.13） 其中 是费米分布函数，适当选取能量的原点可消去式（11.11.11）中常数项 1/2nU,将 写成 （11.11.14） 利用平移对称性，从式（11.11.14）可得 （11.11.15） 代入式（11.11.9），求得磁化强度为 （11.11.16） 当h=0时，由上式可确定自发磁化与温度的关系。
当h=0时，由此可以导出巡游 电子系统形成铁磁相的条件 （ii）斯通纳判据 讨论巡游电子系统中顺磁（PM）相的失稳条件，可以确定形成铁磁相的判 据设h=0时系统处于顺磁相，有 解由于M~h，当弱磁场h 作用时可以在式（11.11.16）中将 按h展开，求得 （11.11.17） 其中 为能带的态密度对于自由电子气体，取U=0，得到 （11.11.18） 其中 代表自由电子气体的泡利磁化率当U=0时，对于巡游电子 （11.11.19） 由此得到顺磁相的静态磁化率为 （11.11.20） 这里取 为磁化率的单位 当 时顺磁相失稳，形成铁磁相因此，根据式（11.11.20），铁 磁磁序的稳定条件为 （11.11.21） 当T=0K时，由于 ，因此以 为单位的泡利磁化率： （11.11.22） 由式（11.11.21），求得零温度时形成铁磁序的条件为 这就是铁磁相的斯通纳判据铁磁相与顺磁相转变的相界由条件 （11.11.23） 决定例如从 ，可确定转变的居里温度 （iii） 的磁化率 对于铁磁金属，当 时实验上观察到磁化率满足居里-外斯（Curie- Weiss）定律 （11.11.24） 我们将证明斯通纳的巡游电子理论不能解释这个简单规律。
根据式 （11.11.20），温度T时以 为单位的磁化率为 （11.11.25） 其中 而泡利磁化率 （11.11.26） 由于金属磁体的居里温度 K，而费米温度 K ， 高于金属熔点因此，即使在 温区仍然有 关系，这时可 算出上述费米积分 它只是温度的缓变函数代入式（11.11.25），求得 时顺磁相的静 态磁化率 （11.11.27） 其中 代表费米面上的态密度顺磁与铁磁相的转变温度 由条件 （11.11.28） 决定从式（11.11.28）可定出 （11.11.29） 将此结果代入式（11.11.27），经整理后得到磁化率与温度T的定性关系 （11.11.30） 显然，这个结果与居里-外斯定律不同因此，斯通纳的巡游电子理论不能 说明 时磁化率的居里-外斯定律这时理论应用于有限温区所遇到的一 个重要困难 （iv）自发磁化 令 中外磁场h=0，从式（11.11.8）可得自发磁化方程为 （11.11.31） 2△代表↑与↓自旋能带的劈裂当材料的能带态密度为已知时，原则上式（ 11.11.31）可直接求出磁化强度与温度的关系。
从式（11.11.31）可知，磁化 强度由↑、↓自旋带中电子数之差决定因此其零温饱和磁化M(0)并不要求所 有电子的自旋取向一致，这时斯通纳模型不同于海森伯模型的特点例如当 时，从式（11.11.31）可求出 （11.11.32） 这时平均每个元胞内的有效波二次字数由能带劈裂和费米面上态密度之成积 决定，它是一个任意数，未必等于1由此可知，在金属磁体中平均每个元胞 内的零温饱和磁化强度不一定是波尔磁子的整倍数，与实验结果一致这是 能带模型的成功之处 当 时，将产生从↓自旋带向↑自旋带的热激发于是在↑自旋带中 产生电子，而在↓自旋带中留下空穴这种改变自旋的电子-空穴对激发称为斯 通纳激发随着温度升高斯通纳激发将使↑、↓自旋带的分裂减小，并造成 M(T)随T升高而下降，利用费米积分的索末菲展开式 从式（11.11.31）可求出在低温范围内 （11.11.33） 此结果与实验测量的 规律不符这是因为斯通纳理论仍是独 立电子模型，其中热激发的电子和空穴时分别独立地在平均场中运动 的在斯通纳理论中只考虑了自旋的个别激发，而忽略了自旋的集体 激发根据第三章的讨论， 时著名的布洛赫规律，它代表色散 曲线为 的自旋波激发所产生的磁化强度下降规律，这是自旋的 集体激发效应。
人们必须超出哈特利-福克近似，计及电子-空穴对的互 作用，才能求得金属中的自旋波 （v）斯通纳表述 为了便于读者阅读有关金属磁性的文献，我们将介绍斯通纳关于 铁磁性的表述根据公式（11.11.16），以 为单位的磁化强度 （11.11.34） 说明↑与↓自旋的电子在k空间作占得相体积不同对于球形等能面有 ，若再取顺磁相 为波数的单位，构成 的量纲为1的波数为 ，由此求得↑，↓电子的费 米球半径为 （11.11.35） （11.11.36） （11.11.37） 当存在铁磁序 时，量纲为1的半径k↓k↑,如图所示幻灯片 21 在无外磁场时，自旋↓与↑个电子间的能带劈裂 （11.11.38） 利用式（11.11.14）并在球形等能面情况下取 可将 表示为 或更明确地写成下列表示式： （11.11.39a） （11.11.39b） （11.11.40b） （11.11.40a） （11.11.41） 以上表示将对自旋波频谱的计算带来方便若再将式（11.11.38）也写成量纲 为1的表示式 ,又可求得下列决定零温铁磁序参量 的自洽方 程： （11.11.42） 其中 由等式左边的 直线与等式右边的 曲线之交点决 定， ，由于 曲线之斜率在 分别为（2/3）与 ∞，可求得3中不同的解：①顺磁解 ②不完全 的铁磁解（0 0） 的条件为 。
再考虑到费米面上任一自旋取向的态密度，最后求 得的形成铁磁序条件为 与铁磁相得斯通纳判据式（11.11.22）一致 如图幻灯片 20 THANKS！ R 01 BACK幻灯 片 18 BACK幻灯片 15 。