Lecture 7 几何变换 概述 在计算机图形学中，通常需要将画出的图形平移到某一 位置，或改变图形的大小和形状，或利用已有图形生成 复杂图形，这种图形处理的过程就是图形的几何变换， 简称图形变换 二维图形和三维图形都可以进行图形变换图形变换通 常采用矩阵的方法，图形所做的变换不同其变换矩阵也 不同变换的实质是对由图形上各点的坐标组成的矩阵 进行运算，因此在讨论各种具体图形几何变换时，可以 归结为一个点的变换 7.1 二维基本变换 二维基本变换包括： •平移 •比例 •旋转 7.1.1 平移变换 平移是一物体从一个位置到另一位置所作的直线移动 如果要把一个位于的点移到新位置时，只要在原坐标上 加上平移距离Tx及Ty即可 平移变换 表示成数学形式： 表示成向量形式： 可以用矩阵相加来表示P点的位移 计为： 7.1.2 比例变换 用来改变一物体大小的变换称为比例变换（缩放变换） 如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各顶点 的坐标（x，y）均乘以比例因子Sx、Sy，以产生变换后的 坐标（x’，y’） 比例变换 表示成数学形式： 如果令 则比例变换可以表示成以下的矩阵形式： 记为： 7.1.3 旋转变换 物体上的各点绕一固定点沿圆周路径作转动称为旋转变 换。
我们可用旋转角表示旋转量的大小 一个点由位置（x、y）旋转到（x′y′）如下图所示，θ为 旋转角 旋转变换 由图可得到如下三角关系式： 则相对于坐标原点的旋转变换公式如下： 旋转变换 如果令 则有 记为 7.2 二维几何变换的齐次坐标表示 可以看出，平移变换的处理方法与其他两种变换的形 式不一样，但我们希望能够用一种一致的或同类的方法 来处理这三种变换，使得这三种基本变换能很容易地结 合在一起，形成各种复杂的组合变换为了解决这个问 题，引入齐次坐标这一概念 基本思想:把一个n维空间的几何问题, 转换到n+1维空间 中去解决即用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n 个分量的向量 进一步分析知，平移变换是对常数项的变换，而比例 和旋转则是对x和y项的变换 二维几何变换的齐次坐标表示 如果我们既要对常数项进行变换，也要对x和y项进行变 换，我们进行如何的处理呢？ 观察如下的表达式： 则有：x’=a1x+ a2y+ a3c y’=b1x+ b2y+ b3c c’=c1x+ c2y+ c3c 二维几何变换的齐次坐标表示 如果我们令： a1=1,a2=0,a3=Tx b1=0,b2=1,b3=Ty c1=0,c2=0,c3=1，c=1 则有：x’=x+ Tx y’=y+ Ty 1=1 上两式正好是坐标的平移变换。
二维几何变换的齐次坐标表示 使用这种表示方法，坐标的平移变换可以表示为： 平移变换的矩阵形式缩写： 这样，我们就把矩阵的加法运算转化为矩阵的乘法运算 ，我们使用的这种表达坐标的方法就叫齐次坐标表示 (x,y)表达为(hx,hy,h),当h=1时称为规格化齐次坐标 二维几何变换的齐次坐标表示 使用规格化齐次坐标，我们可以表示另外两种变换： 比例变换的矩阵形式 ： 缩写为 ： 旋转变换的矩阵形式 ： 缩写为 ： 7.2.3 其他变换 反射变换 ：反射是用来产生物体的镜象的一种变换物 体的镜象一般是相对于一对称轴生成的 •关于x轴对称变换 •关于y轴对称变换 •关于坐标原点的对称变换 关于x轴对称变换 关于x轴的对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中 ，Sx=1，Sy= -1，如图所示，其变换矩阵为： 关于y轴对称变换 关于y轴的对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中 ，Sx=-1，Sy=1，如图所示，其变换矩阵为： 关于坐标原点的对称变换 关于y轴对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中， Sx=-1，Sy= -1，如图所示，其变换矩阵为： 错切变换 这种变换可使物体产生变形，即物体产生扭转或称为错 切。
常用的两种错切变换是沿x向或沿y向错切变换 •沿x方向关于y轴的错切 •沿y方向关于x轴的错切 沿x方向关于y轴的错切 在下图中，对矩形ABCD沿x轴方向进行错切变换，得到 矩形A’B’CD错切的角度为θ，令shx=tanθ假定点(x, y) 经错切变换后变为（x’, y’），由下图可知： 从而沿x方向关于y轴的错切 的变换矩阵为： 沿y方向关于x轴的错切 在下图中，对矩形ABCD沿y轴方向进行错切变换，得到 矩形AB’C’D错切的角度为θ，令shy=tanθ，假定点(x, y) 经错切变换后变为（x’, y’），由下图可知: 从而沿y方向关于x轴的错切 的变换矩阵为： 7.2.4 二维几何变换的一般形式 设图形上一点的坐标为P(x,y)，经过二维几何变换后的坐标为 P’(x’, y’)，变换矩阵一般可写为： 即： 这样的变换在数学上称为仿射变换(Affine Transformation)前 面介绍的几种变换都是仿射变换的特例 7.3 组合变换 任意一个变换序列均可表示为一个组合变换矩阵组合 变换矩阵可由基本变换矩阵的乘积求得由若干基本变 换矩阵相乘求得组合变换矩阵的方法称为矩阵的级联。
•单个基本变换的组合变换 •多个基本变换的组合变换 7.3.1 单个基本变换的组合变换 组合平移变换 对一物体连续平移两次，假定两次平移的距离为（Tx1， Ty1）及（Tx2，Ty2），则 由此可计算出组合矩阵为： 上式表明，进行连续两次平移，实际上是把平移距离相 加，即 组合比例变换 作用于点P的两次连续的比例变换的变换矩阵为： 即： 连续进行两次比例变换，实际上是把相应的比例因子相 乘 组合旋转变换 连续两次旋转的组合变换矩阵可用下式表示 与组合平移的情况相似，连续旋转实际上是把旋转角相 加 7.3.2 多个基本变换的组合变换 相对于任一固定点的比例变换 首先把图形及固定点一起平移，使固定点移到坐标原点上；然后把图形 相对于原点进行比例变换；最后把图形及固定点一起平移，使固定点又 回到原来位置 相对于任一固定点的比例变换 此变换序列可表示为： 其中变换矩阵为： OPENGL程序中的变换顺序 glMatrixMode(GL_MODELVIEW); /指定当前操作矩阵类型 glLoadIdentity(); /设置当前操作矩阵为单位矩阵 glMultMatrix(TT(XA,YA)); /用当前矩阵乘以函数所提供矩阵 glMultMatrix(TS(Sx,Sy)); glMultMatrix(TT(-XA,-YA)); glBegin(GL_POINTS); glVertex3f(x,y,x); glEnd(); 围绕任一基准点的旋转变换 下图所示的为围绕任一基准点A（xA，yA）旋转时，由一变换序列得到一 组合矩阵的过程。
首先，把物体平移，使基准点与坐标原点重合，然后 ，把物体绕原点旋转，最后，把物体平移，使基准点回到原来位置 围绕任一基准点的旋转变换 此变换序列可以用以下矩阵的乘积表示： 关于任意轴的对称变换 以任一直线l为对称轴的对称变换可以用变换合成的方法按如下步骤建立 ①平移使l过坐标原点，记变换为T1，图形A被变换到A1 ②旋转θ角，使l和ox轴重合，记变换为R1，图形Al被变换到A2 ③求图形A关于x轴的对称图形A3，记变换为RFx ④旋转-θ角，记变换为R2，图形A3被变换到A4 ⑤平移使l回到其原先的位置，记变换为T2，图形A4被变换到AsAs即为 A关于l的对称图形 总的变换为： 变换矩阵的级联特性 矩阵相乘是符合结合律的，即在求A、B、C三个矩阵的 积时，可以先把A及B相乘，也可以先把B及C相乘，即 但矩阵相乘是不符合交换律的，即一般矩阵积AB与BA 不相等这样，如果我们要对一物体进行平移及旋转变 换，则要特别注意矩阵级联的次序采用不同的变换次 序，其最后结果是不一样的 7.4 三维几何变换 •三维图形的平移，比例及旋转变换是对二维变换的扩展 •三维旋转一般不能直接由二维变换扩展得到，因为三维 旋转可围绕空间任何方位的轴进行。
•三维几何变换方程也可以用变换矩阵表示任何一个变 换序列均可用一个矩阵表示，此矩阵是把序列中的各个 矩阵级联到一起而得到的 . •对于三维空间点需要用4个数来表示，而相应的变换矩 阵是44阶矩阵 7.4.1 三维坐标系的建立 右手坐标系 :伸出右手，当用大姆指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正 方向，则与手心垂直的中指方向就是z轴正向在计算机图形学中，两种 坐标系都可以使用 右手坐标系为大多数人所熟悉，因此在讨论图形的数学问题时常使用右 手坐标系本课程中没有指明时，均指右手坐标系 7.4.2 三维图形几何变换 三维几何变换也可利用齐次坐标的概念，变换可以用一 个44的变换矩阵来表示设三维空间中的点P(x,y,z)，其 规格化齐次坐标为(x,y,z,1) 若变换矩阵为T，T为44的矩阵，则变换后的点P’=TP 平移变换 在用三维齐次坐标表示时，把一个点由位置（x，y，z） 平移至位置（x’，y’，z’）可用以下矩阵运算实现： 所示的矩阵表达式与以下三式等效： 比例变换 设空间一点P（x，y，z）以原点为中心，在三根轴上分 别放大或缩小Sx、Sy，Sz倍，变换矩阵为： 旋转变换 三维空间的旋转： •绕x轴的旋转 •绕y轴的旋转 •绕z轴的旋转 •绕空间一条任意轴的旋转 绕x轴的旋转 当点P (x，y，z)绕x轴旋转α角到P’ (x’，y’，z’ )时，点的x 坐标值不变 ,则有： 变换矩阵为： 绕y轴的旋转 当点P (x，y，z)绕y轴旋转β角到P’ (x’，y’，z’ )时，点的y 坐标值不变 ，则有： 变换矩阵为： 绕z轴的旋转 当点P (x，y，z)绕y轴旋转γ角到P’ (x’，y’，z’ )时，点的z 坐标值不变 ，则有： 变换矩阵为： 反射变换 如果要对于x y平面进行变换，此变换实际上是改变z坐标 的符号而保持x、y坐标不变，一点相对于x y平面反射变 换矩阵为： 同样可定义相对于y z平面或x z平面进行变换的矩阵 : 错切变换 三维错切变换是指对定义一个点的三个坐标值中的两个 进行变换，使三维形体发生错切变形的变换 . 下面是以z轴为依赖轴（z值不变）产生三维错切的变换 矩阵 : 围绕任意轴的旋转变换 在给定旋转轴的特征及旋转角之后，可用以下5步完成对 任意轴的旋转： ①平移物体使旋转轴通过坐标原点。
②旋转物体使旋转轴与某一坐标轴重合 ③进行规定的旋转 ④进行反旋转使放置轴回到原来的方位 ⑤进行反平移使旋转轴回到原来的位置 围绕任意轴的旋转变换 首先，假定旋转轴用两点定义P1(x1,y1,,z1) 和P2(x2,y2,,z2)， 由此两点定义一向量： 用此向量可求得沿旋转轴的单位向量： 用以下平移矩阵可把物体平移使旋转轴通过坐标原点： 围绕任意轴的旋转变换 要使旋转轴与z轴重合，可通过以下两步实现，首先，围 绕x轴旋转使向量u转到xz平面中；然后围绕y轴旋转使u 与z轴重合 首先确定使u转到xz平面所需的旋转角的正弦及余弦值 围绕任意轴的旋转变换 上面已由的各个分量确定了及的值，由此可得到绕x轴的 旋转矩阵为： 围绕任意轴的旋转变换 下面确定把xz平面中的单位向量围绕轴旋转到正轴的变 换矩阵 因此首先确定b的sin和cos值： sin b=a, cos b=d 由此可得到绕y轴的旋转矩阵为： 围绕任意轴的旋转变换 用上述变换矩阵，可使。