6 - 1 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 第第 6 6 章章 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布 作者：中国人民大学统计统计 学院 贾贾俊平 统计学 6 - 2 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 第第 6 6 章章 统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布 6.1 6.1 统计量统计量 6.2 6.2 关于分布的几个概念关于分布的几个概念 6.3 6.3 由正态分布导出的几个重要分布由正态分布导出的几个重要分布 6.4 6.4 样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理 6.5 6.5 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布 6.6 6.6 两个样本平均值之差的分布两个样本平均值之差的分布 6.7 6.7 关于样本方差的分布关于样本方差的分布 6 - 3 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 学习目标学习目标 1.1. 了解统计量及其分布的几个概念了解统计量及其分布的几个概念 2.2. 了解由正态分布导出的几个重要分布了解由正态分布导出的几个重要分布 3.3. 理解样本均值的分布与中心极限定理理解样本均值的分布与中心极限定理 4.4. 掌握单样本比例和样本方差的抽样分布掌握单样本比例和样本方差的抽样分布 6 - 4 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 6.16.1 统计量统计量 6.1.1 6.1.1 统计量的概念统计量的概念 6.1.2 6.1.2 常用统计量常用统计量 6.1.3 6.1.3 次序统计量次序统计量 6.1.4 6.1.4 充分统计量充分统计量 6 - 5 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 统计量统计量 ( (statisticstatistic) ) 1.1. 设设X X 1 1 , ,X X 2 2 ,…,,…,X X n n 是从总体是从总体X X中抽取的容量为中抽取的容量为n n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T T( (X X 1 1 , ,X X 2 2 ,…,,…,X X n n ) )，不依赖于任何未知参数，，不依赖于任何未知参数， 则称函数则称函数T T( (X X 1 1 , ,X X 2 2 ,…,,…,X X n n ) )是一个统计量是一个统计量 n n 样本均值、样本比例、样本方差等都是统样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量计量 2.2. 统计量是样本的一个函数统计量是样本的一个函数 3.3. 统计量是统计推断的基础统计量是统计推断的基础 6 - 6 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 次序统计量次序统计量 1.1. 一一组样本观测值组样本观测值X X 1 1 , ,X X 2 2 ,…,,…,X X n n 由小到大的排由小到大的排 序序 X X（ （1 1）） ≤ ≤X X （（2 2））≤ ≤…≤ …≤ X X（ （i i））≤ ≤…≤ …≤ X X（ （n n）） 后，称后，称X X（ （1 1））， ，X X（ （2 2））， ，……，，X X（ （n n））为次序统 为次序统 计量计量 2.2. 中位数、分位数、四分位数等都是次序统中位数、分位数、四分位数等都是次序统 计量计量 6 - 7 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 6.26.2 关于分布的几个概念关于分布的几个概念 6.2.1 6.2.1 抽样分布抽样分布 6.2.2 6.2.2 渐进分布渐进分布 6.2.3 6.2.3 随机模拟获得的近似分布随机模拟获得的近似分布 6 - 8 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 1.1.样本统计量的概率分布，样本统计量的概率分布，是一种理论分布是一种理论分布 n n 在重复选取容量为在重复选取容量为n n的样本时，由该统计量的所有可的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布能取值形成的相对频数分布 2.2.随机变量是随机变量是 样本统计量样本统计量 n n 样本均值样本均值, , 样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等 3.3.结果来自结果来自容量相同容量相同的的所有所有可能样本可能样本 4.4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布抽样分布 ( (sampling distributionsampling distribution) ) 6 - 9 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 6.3 6.3 由正态分布导出的几个重要分布由正态分布导出的几个重要分布 6.3.1 6.3.1 2 2 分布分布 6.3.2 6.3.2 t t 分布分布 6.3.3 6.3.3 F F 分布分布 6 - 10 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 2 2 分布 分布 6 - 11 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 1.1.由阿贝由阿贝( (AbbeAbbe) ) 于于18631863年首先给出，后来由海尔墨年首先给出，后来由海尔墨 特特( (HermertHermert) )和卡和卡 皮尔逊皮尔逊( (KPearsonKPearson) ) 分别于分别于18751875 年和年和19001900年推导出来年推导出来 2.2.设设 ，则，则 3.3.令令 ，则，则 Y Y 服从自由度为服从自由度为1 1的的 2 2 分布，即分布，即 4.4. 5.5.当总体当总体 ，从中抽取容量为，从中抽取容量为n n的样本，则的样本，则 2 2 分布分布 ( ( 2 2 distributiondistribution) ) 6 - 12 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 1.1.分布的变量值始终为正分布的变量值始终为正 2.2.分布的形状取决于其自由度分布的形状取决于其自由度n n的大小，通常为不的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称于对称 3.3.期望为：期望为：E E( ( 2 2 )=)=n n，方差为：，方差为：D D( ( 2 2 )=2)=2n n( (n n为自为自 由度由度) ) 4.4.可加性：若可加性：若U U和和V V为两个独立的为两个独立的 2 2 分布随机变量分布随机变量 ，，U U~ ~ 2 2 (n(n 1 1 ) )，，V V~ ~ 2 2( (n n 2 2 ), ),则则U U+ +V V这一随机变量服这一随机变量服 从自由度为从自由度为n n 1 1 + +n n 2 2 的的 2 2 分布分布 2 2 分布分布 ( (性质和特点性质和特点) ) 6 - 13 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) cc 2 2 分布分布 ( (图示图示) ) 不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布 2 2 n n=1=1 n n=4=4 n n=10=10 n n=20=20 6 - 14 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) t t 分布分布 6 - 15 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) t t 分布分布 1.1. 高塞特高塞特(W.S.Gosset)(W.S.Gosset)于于19081908年在一篇以年在一篇以 “ “Student”(Student”(学生学生) )为笔名的论文中首次提出为笔名的论文中首次提出 2.2. t t 分布是类似正态分布的一种对称分布，分布是类似正态分布的一种对称分布， 它通常要比正态分布平坦和分散它通常要比正态分布平坦和分散 3.3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。
随着自由度的增大，分布也逐渐趋于数随着自由度的增大，分布也逐渐趋于 正态分布正态分布 6 - 16 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) t t 分布图示分布图示 x x t t 分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较 t t 分布分布 标准正态分布标准正态分布 t t 不同自由度的不同自由度的t t分布分布 标准正态分布标准正态分布 t t ( (dfdf = 13) = 13) t t ( (dfdf = 5) = 5) z z 6 - 17 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) F F 分布分布 6 - 18 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 1.1.由统计学家费希尔由统计学家费希尔( (R.A.FisherR.A.Fisher) ) 提出的，以其姓氏提出的，以其姓氏 的第一个字母来命名的第一个字母来命名 2.2.设若设若U U为服从自由度为为服从自由度为n n 1 1 的的 2 2 分布，即分布，即U U~ ~ 2 2( (n n 1 1 ) )，， V V为服从自由度为为服从自由度为n n 2 2 的的 2 2 分布，即分布，即V V~ ~ 2 2( (n n 2 2 ), ),且且U U和和 V V相互独立，则称相互独立，则称F F为服从自由度为服从自由度n n 1 1 和和n n 2 2 的的F F分布，分布， 记为记为 F F分布分布 ( (F F distributiondistribution) ) 6 - 19 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) F F分布分布 ( (图示图示) ) 不同自由度的不同自由度的F F分布分布 F F （（1,10)1,10) (5,10)(5,10) (10,10)(10,10) 6 - 20 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 6.4 6.4 样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理 6 - 21 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 1.1. 在重复选取容量为在重复选取容量为n n的样本时，由样本均的样本时，由样本均 值的所有可能取值形成的相对频数分布值的所有可能取值形成的相对频数分布 2.2. 一种理论概率分布一种理论概率分布 3.3. 推断总体均值推断总体均值的理论基础的理论基础 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 6 - 22 作者：贾俊平，中国人民大学统计学院 统计统计 学 STATISTICS (第五版) 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 与中心极限定理与中心极限定理 = 50= 50 =10=10 X X 总体分布总体分布 n n = 4 = 4 。