第4章 扭转,4.1扭转的概念和实例 工程中，受扭构件是很常见的例如，汽车转向轴，当汽车转向时，驾驶员通过方向盘把力偶作用在转向轴的上端，在转向轴的下端则受到来自转向器的阻力偶作用，如图4.1(a)所示又如轴承传动系统的传动轴工作时，电动机通过皮带轮把力偶作用在一端，在另一端则受到齿轮的阻力偶作用，如图4.1(b)所示图4.1,上述杆件的受力可简化为如图4.2所示，其受力特点是在杆件两端作用两个大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶变形特点是杆件的任意两个横截面绕其轴线作相对的转动扭转时杆件两个横截面相对转动的角度称为相对扭转角，一般用φ表示(见图4.2)图4.2,4.2外力偶矩的计算扭矩与扭矩图 在研究扭转的应力和变形之前，先介绍作用于轴上的外力偶矩及横截面上的内力4.2.1外力偶矩的计算 以工程中常见的传动轴为例，作用在轴上的外力偶矩与轴传递的功率和转速有关若已知轴传递的功率为Pk，单位kW，转速为n，单位r/min，则圆轴在每分钟内传递的功为 W=Pk·t=Pk×103×60 外力偶矩Me在每分钟内完成的功为 W′=Me·φ=Me×2π×n 由于W′=W，所以作用在轴上的外力偶矩 应用时需要注意功率和转速的单位。
4.2.2扭矩与扭矩图 杆件上的外力偶矩确定后，就可用截面法计算任意横截面上的内力以如图4.3(a)所示的圆轴为例，假想用m—m截面将圆轴一分为二，并取其左段为研究对象(见图4.3(b))由于整个轴是平衡的，则左段也处于平衡状态，这就要求m—m横截面上的内力必须归结为一个力偶矩，称为扭矩，用T表示图4.3 根据平衡方程 ，即 T-Me=0 得 T=Me,显然，若截取后取右段为研究对象，则在同一横截面上可求得扭矩的数值大小相等而方向相反为使同一横截面上的扭矩正、负号一致，对扭矩的符号规定如下：按右手螺旋法则确定扭矩矢量T，当T的指向与横截面的外法线方向一致时，扭矩为正(见图4.4(a))，反之，为负(见图4.4(b))图4.4,下面举例说明扭矩的计算和扭矩图的绘制 例4.1如图4.5(a)所示的传动轴，已知轴的转速n=300 r/min，主动轮C输入功率PC=360 kW，3个从动轮A，B，D输出功率分别为PA=60 kW，PB=120 kW，PD=180 kW试绘制该轴的扭矩图图4.5,解(1)计算外力偶矩 根据公式(4.1)计算作用于各轮上的外力偶矩,(2)计算扭矩 从受力情况看，在轴的AB，BC，CD三段内，各横截面上的扭矩是不相等的。
现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩 在AB段，用截面1—1截取，取左段为研究对象，并假设该截面上的扭矩T1为正，如图4.5(c)所示由平衡方程 ，得 MA+T1=0 于是有 T1=-MA=-1 910 N·m,负号表明截面1—1上的实际扭矩方向与假设方向相反，按照扭矩的符号规定，该截面上扭矩是负的 同理，可求得截面2—2和截面3—3上的扭矩分别为 T2=-3 820 N·m9T3=5 730 N·m (3)绘制扭矩图 根据上述计算，绘制扭矩图如图4.5(f)所示可以看出，该轴的最大扭矩发生在CD段，且Tmax=5 730 N·m4.3圆轴扭转时的应力 本节讨论等直圆轴扭转时的应力先通过研究薄壁圆筒的扭转寻求扭转时横截面上的应力和应变的分布规律及其二者之间的关系，再进一步从等直圆轴受扭时的变形几何关系、物理关系和静力关系３个方面综合分析，推导圆轴扭转时的应力计算公式4.3.1纯剪切 (1)薄壁圆筒的扭转 设一等厚薄壁圆筒，其壁厚δ远小于其平均半径为r，两端承受外力偶矩Me，如图4.6(a)所示圆筒任一横截面上的扭矩都是由截面上的应力与微面积dA之乘积合成的，因此横截面上的应力只能是切应力。
图4.6,为得到沿横截面圆周各点处切应力的变化规律，可在薄壁圆筒受扭前，在筒表面画出一组等间距的纵向线和圆周线，形成一系列的矩形小方格然后在两端施加外力偶矩Me，圆筒发生扭转变形由此可以观察到： ①圆筒表面各纵向线在小变形下仍保持直线，但都倾斜了同一微小角度γ ②各圆周线的形状、大小和间距都保持不变，但绕轴线旋转了不同的角度因筒壁很薄，所以可将圆周线的转动视为整个横截面绕轴线的转动，圆筒两端截面的相对扭转角为φ，如图4.6(b)所示此外，圆筒任意两横截面之间也有相对转动，从而使筒表面的各矩形小方格的直角都改变了相同的角度γ，如图4.6(c)所示，这是横截面上切应力作用的效果，又因薄壁圆筒δr，所以可近似认为切应力沿壁厚不变依据上述分析，可知薄壁圆筒的扭转时，横截面上各处的切应力值均相等，其方向与圆周相切由于横截面上的扭矩都是该截面上的应力与横面积dA之乘积的合成，如图4.6(d)所示，可得 所以,(2)切应力互等定理 在承受扭转的薄壁圆筒上，用两个横截面、两个径向截面和两个圆柱面截取出边长分别为dx，dy，dz的单元体，并放大为图4.7(a)所示单元体的左、右两侧面是圆筒横截面的一部分，所以有切应力。
切应力值根据公式(4.2)计算，数值相等但图4.7方向相反，于是组成一个力偶矩为( dydz)dx的力偶为保持平衡，单元体的上、下两个面必须有切应力，并组成力偶以与力偶( dydz)dx相平衡由 可知，上、下两个面上存在大小相等、方向相反的切应力′，于是组成力偶矩为(′dxdz)dy的力偶根据平衡方 程 ，得 ( dydz)dx=( ′dxdz)dy 于是,如图4.7(a)所示的单元体在其两对相互垂直的平面上只有切应力而无正应力这种应力状态称为纯剪切应力状态显然，薄壁圆筒发生扭转时处于纯剪切应力状态由于这种单元体的前、后两平面上无任何应力，所以可将其改用平面图加以表示，如图4.7(b)所示图4.7,(3)剪切胡克定律 通过薄壁圆筒的扭转实验可以得到材料在纯剪切应力状态下应力与应变之间的关系 试验结果表明，当切应力低于材料的剪切比例极限时，相对扭转角φ与扭矩T之间成正比而由图4.6(b)所示的几何关系可求得薄壁圆筒表面上的切应变γ和相距为l的两端面之间的相对扭转角φ之间的关系为 结合式(4.2)和式(4.4)可以看出，切应力与T成正比，而切应变γ又与φ成正比所以，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力成正比(见图4.8)，即,图4.8,这就是剪切胡克定律。
式中G为材料的剪切弹性模量和切应力的量纲相同 至此，已经引入了３个材料的弹性常量，即弹性模量E、剪切弹性模量G和泊松比μ对于各向同性材料，可以证明３个弹性常数之间满足下述关系 因此，３个弹性常数中，只要知道任意两个，另一个即可确定4.3.2圆轴扭转时的应力 (1)圆轴扭转时横截面上的应力 1)变形几何关系 与薄壁圆筒扭转实验一样，为研究圆轴扭转时横截面上应变的变化规律，在其表面画上纵向线和圆周线，如图4.9(a)所示当圆轴两端施加外力偶矩Me后，可以发现如图4.9(b)所示的现象：各圆周线的形状和间距均保持不变；在小变形条件下，各纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小的角度γ变形前表面上的方格，变形后错动成菱形图4.9,根据以上观察到的现象，可以合理假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面，其形状、大小不变，半径也保持为直线，且相邻横截面间的距离不变这一假设称为平面假设依据平面假设，等直圆轴扭转时，其横截面就像刚性平面一样绕轴线转过了一个角度以平面假设为基础导出的应力和变形计算公式已经得到试验的证实，这足以说明假设的正确性下面分析圆轴内任意点的应变为此，用相邻的两个横截面p—p和q—q从圆轴上取出微段dx，并放大为如图4.10(a)所示。
根据平面假设，q—q截面相对于p—p截面的扭转角为dφ，半径Oa转到了Oa′于是，表面方格abcd的ab边相对于cd边发生了微小的错动，错动的距离为 矩形abcd的切应变为 这就是圆轴横截面边缘上任一点的切应变γ发生在垂直于半径Oa的平面内 用同样的方法，参考图4.10(b)，可以求得距离圆心为ρ处点的切应变为,图4.10,γρ也发生在垂直于半径Oa的平面内式中 表示扭转角沿轴线的变化率，称为单位长度转角对于一个给定的横截面，它是一个常量由此可见，横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比2)物理关系 由剪切胡克定律可知，在材料的线弹性范围内，切应力和切应变γ成正比于是，据式(4.5)，再结合式(4.7)，得到横截面上距圆心为ρ的点的切应力ρ为 式(4.8)表明：等直圆轴扭转变形时横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离ρ成正比，方向与半径垂直于是，圆轴扭转时横截面上切应力的分布规律如图4.11所示图4.11,3)静力关系 式(4.8)中， 尚未确定，所以需进一步考虑静力关系，才能求出圆轴扭转时横截面上一点的切应力 如图4.12所示，在横截面上距圆心O为ρ的地方取微面积dA，其上的微内 力 对圆心O的力矩为 。
显然， 遍及整个横截面的积分，结果就是该横截面上的扭矩T，即,图4.12,将式(4.8)代入上式，得 注意到G和 都是常量，所以 若令 IP称为横截面对圆心的极惯性矩，只与横截面的几何量有关于是上式改写为 结合式(4.8)和式(4.9)，得 式中T——横截面上的扭矩； ρ——所求点到圆心的距离； IP——横截面的极惯性矩式(4.10)是等直圆轴扭转变形时横截面上任一点处切应力的计算公式 由式(4.10)可知，在横截面周边各点处，即ρ=R处，切应力达到最大值，其值为 若令IPR=WP，WP称为抗扭截面系数，也只与横截面的几何量有关于是，最大切应力的计算公式改写为 需要注意的是，式(4.10)、式(4.11)的推导是以平面假设为基础，并应用了胡克定律，因此，它们只适用于线弹性范围内的等直圆轴发生小变形的情况，包括实心圆轴和空心圆轴图4.13,对于实心圆截面，如图4.13所示，其极惯性矩为 抗扭截面系数为 对于内径为d、外径为D的空心圆截面，可将其设想为外圆面减去内圆面，利用式(4.12)可得其极惯性矩为 抗扭截面系数为 式中 ——空心截面内、外径之比。
2)圆轴扭转时斜截面上的应力 在圆轴的扭转试验中，可以发现这样一种现象：低碳钢试件的破坏是沿构件的横截面断开的，断口比较平整、光滑，如图4.14(a)所示；而铸铁试件的破坏则是沿着与轴线约成45°角的螺旋形曲面断开的，断口呈细小颗粒状，如图4.14(b)所示为了解释这种现象，有必要研究圆轴扭转时斜截面上的应力图4.14,前面曾经介绍过，纯剪切应力状态下的单元体可以采用平面图表示(见图4.7(b))现在此单元体任取一垂直于前、后平面的斜截面ef，其外法线n的方向与x轴的夹角为α，如图4.15(a)所示α角的符号规定如下：从x轴方向至外法线n，逆时针方向转动时取正值，顺时针方向转动时取负值图4.15,为求斜截面 上的应力，应用截面法，假想沿 面截开，对其左边部分 进行分析，如图4.15(b)所示在 面、de面上作用有已知切应力 和 ′，ef面上作用有未知的正应力σα和切应力 α选取参考坐标轴ξ和η，分别平行和垂直于ef面设ef面的面积为dA，则fd面、de面的面积分别为dA cos α和dA sin α根据平衡方程 和 ，可得 由切应力互等定理，=′解以上两个方程，得,由此可见，斜截面的正应力和切应力随斜截面方位的变化而变化。
在α=0°、α=90°、α=180°与α=270°的截面(即单元体的４个侧面上)上切应力达到极值，其大小为，而在α=±45°的斜截面上，切应力为零，正应力达到极值，且 也就是说，该两截面上的正应力分别为σα的最大值和最小值，一个为拉应力，一个为压应力，其绝对值都等于。